Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51463 / 48313
↖ ↑ ↗
← S 64.607393°
E102.694702°		 ← 261.92 m → S 64.607393°
E102.700195°		 →
↑
261.91 m
↓
↑
261.91 m
↓
S 64.609748°
E102.694702°		 ← 261.89 m →
68 596 m²		 S 64.609748°
E102.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785270690917969 y=0.737205505371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785270690917969 × 216)
    floor (0.785270690917969 × 65536)
    floor (51463.5)     		tx = 51463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737205505371094 × 216)
    floor (0.737205505371094 × 65536)
    floor (48313.5)     		ty = 48313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51463 / 48313 ti = "16/51463/48313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51463/48313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51463 ÷ 216
    51463 ÷ 65536     		x = 0.785263061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48313 ÷ 216
    48313 ÷ 65536     		y = 0.737197875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785263061523438 × 2 - 1) × π
    0.570526123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79236068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737197875976562 × 2 - 1) × π
    -0.474395751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49035820918755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79236068} λ = 1.79236068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49035820918755))-π/2
    2×atan(0.22529193944109)-π/2
    2×0.221592297131662-π/2
    0.443184594263323-1.57079632675     		φ = -1.12761173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79236068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.694702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12761173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.607393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51463 KachelY 48313 1.79236068 -1.12761173 102.694702 -64.607393
    Oben rechts KachelX + 1 51464 KachelY 48313 1.79245655 -1.12761173 102.700195 -64.607393
    Unten links KachelX 51463 KachelY + 1 48314 1.79236068 -1.12765284 102.694702 -64.609748
    Unten rechts KachelX + 1 51464 KachelY + 1 48314 1.79245655 -1.12765284 102.700195 -64.609748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12761173--1.12765284) × R
    4.11100000001774e-05 × 6371000     		dl = 261.91181000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12761173--1.12765284) × R
    4.11100000001774e-05 × 6371000     		dr = 261.91181000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79236068-1.79245655) × cos(-1.12761173) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42881856957863 × 6371000     		do = 261.917137847516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79236068-1.79245655) × cos(-1.12765284) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.428781430827391 × 6371000     		du = 261.894453952466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12761173)-sin(-1.12765284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42881856957863-0.428781430827391)×R²
    abs(1.79245655-1.79236068)×3.71387512388965e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.71387512388965e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.71387512388965e-05×40589641000000     		ar = 68596.2210634338m²