Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51458 / 48271
↖ ↑ ↗
← S 64.508279°
E102.667236°		 ← 262.87 m → S 64.508279°
E102.672729°		 →
↑
262.87 m
↓
↑
262.87 m
↓
S 64.510643°
E102.667236°		 ← 262.85 m →
69 097 m²		 S 64.510643°
E102.672729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785194396972656 y=0.736564636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785194396972656 × 216)
    floor (0.785194396972656 × 65536)
    floor (51458.5)     		tx = 51458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736564636230469 × 216)
    floor (0.736564636230469 × 65536)
    floor (48271.5)     		ty = 48271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51458 / 48271 ti = "16/51458/48271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51458/48271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51458 ÷ 216
    51458 ÷ 65536     		x = 0.785186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48271 ÷ 216
    48271 ÷ 65536     		y = 0.736557006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785186767578125 × 2 - 1) × π
    0.57037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79188131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736557006835938 × 2 - 1) × π
    -0.473114013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48633150961946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79188131} λ = 1.79188131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48633150961946))-π/2
    2×atan(0.226200951326965)-π/2
    2×0.222457230694441-π/2
    0.444914461388882-1.57079632675     		φ = -1.12588187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79188131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.667236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12588187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.508279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51458 KachelY 48271 1.79188131 -1.12588187 102.667236 -64.508279
    Oben rechts KachelX + 1 51459 KachelY 48271 1.79197718 -1.12588187 102.672729 -64.508279
    Unten links KachelX 51458 KachelY + 1 48272 1.79188131 -1.12592313 102.667236 -64.510643
    Unten rechts KachelX + 1 51459 KachelY + 1 48272 1.79197718 -1.12592313 102.672729 -64.510643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12588187--1.12592313) × R
    4.1260000000154e-05 × 6371000     		dl = 262.867460000981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12588187--1.12592313) × R
    4.1260000000154e-05 × 6371000     		dr = 262.867460000981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79188131-1.79197718) × cos(-1.12588187) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430380666516757 × 6371000     		do = 262.871247552878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79188131-1.79197718) × cos(-1.12592313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430343422915205 × 6371000     		du = 262.848499616539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12588187)-sin(-1.12592313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430380666516757-0.430343422915205)×R²
    abs(1.79197718-1.79188131)×3.72436015514399e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72436015514399e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72436015514399e-05×40589641000000     		ar = 69097.3073151515m²