Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51457 / 48279
↖ ↑ ↗
← S 64.527186°
E102.661743°		 ← 262.72 m → S 64.527186°
E102.667236°		 →
↑
262.68 m
↓
↑
262.68 m
↓
S 64.529548°
E102.661743°		 ← 262.69 m →
69 006 m²		 S 64.529548°
E102.667236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785179138183594 y=0.736686706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785179138183594 × 216)
    floor (0.785179138183594 × 65536)
    floor (51457.5)     		tx = 51457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736686706542969 × 216)
    floor (0.736686706542969 × 65536)
    floor (48279.5)     		ty = 48279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51457 / 48279 ti = "16/51457/48279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51457/48279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51457 ÷ 216
    51457 ÷ 65536     		x = 0.785171508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48279 ÷ 216
    48279 ÷ 65536     		y = 0.736679077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785171508789062 × 2 - 1) × π
    0.570343017578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79178543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736679077148438 × 2 - 1) × π
    -0.473358154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48709850001338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79178543} λ = 1.79178543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48709850001338))-π/2
    2×atan(0.226027523887293)-π/2
    2×0.222292238897684-π/2
    0.444584477795368-1.57079632675     		φ = -1.12621185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79178543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.661743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12621185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.527186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51457 KachelY 48279 1.79178543 -1.12621185 102.661743 -64.527186
    Oben rechts KachelX + 1 51458 KachelY 48279 1.79188131 -1.12621185 102.667236 -64.527186
    Unten links KachelX 51457 KachelY + 1 48280 1.79178543 -1.12625308 102.661743 -64.529548
    Unten rechts KachelX + 1 51458 KachelY + 1 48280 1.79188131 -1.12625308 102.667236 -64.529548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12621185--1.12625308) × R
    4.12299999998922e-05 × 6371000     		dl = 262.676329999313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12621185--1.12625308) × R
    4.12299999998922e-05 × 6371000     		dr = 262.676329999313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79178543-1.79188131) × cos(-1.12621185) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.430082787473728 × 6371000     		do = 262.71670725068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79178543-1.79188131) × cos(-1.12625308) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.430045565099052 × 6371000     		du = 262.69396990802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12621185)-sin(-1.12625308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430082787473728-0.430045565099052)×R²
    abs(1.79188131-1.79178543)×3.72223746761269e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.72223746761269e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.72223746761269e-05×40589641000000     		ar = 69006.4742188882m²