Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51457 / 48269
↖ ↑ ↗
← S 64.503550°
E102.661743°		 ← 262.94 m → S 64.503550°
E102.667236°		 →
↑
262.93 m
↓
↑
262.93 m
↓
S 64.505915°
E102.661743°		 ← 262.92 m →
69 133 m²		 S 64.505915°
E102.667236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785179138183594 y=0.736534118652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785179138183594 × 216)
    floor (0.785179138183594 × 65536)
    floor (51457.5)     		tx = 51457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736534118652344 × 216)
    floor (0.736534118652344 × 65536)
    floor (48269.5)     		ty = 48269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51457 / 48269 ti = "16/51457/48269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51457/48269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51457 ÷ 216
    51457 ÷ 65536     		x = 0.785171508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48269 ÷ 216
    48269 ÷ 65536     		y = 0.736526489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785171508789062 × 2 - 1) × π
    0.570343017578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79178543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736526489257812 × 2 - 1) × π
    -0.473052978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48613976202098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79178543} λ = 1.79178543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48613976202098))-π/2
    2×atan(0.226244328974803)-π/2
    2×0.22249849649546-π/2
    0.444996992990919-1.57079632675     		φ = -1.12579933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79178543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.661743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12579933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.503550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51457 KachelY 48269 1.79178543 -1.12579933 102.661743 -64.503550
    Oben rechts KachelX + 1 51458 KachelY 48269 1.79188131 -1.12579933 102.667236 -64.503550
    Unten links KachelX 51457 KachelY + 1 48270 1.79178543 -1.12584060 102.661743 -64.505915
    Unten rechts KachelX + 1 51458 KachelY + 1 48270 1.79188131 -1.12584060 102.667236 -64.505915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12579933--1.12584060) × R
    4.12700000000932e-05 × 6371000     		dl = 262.931170000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12579933--1.12584060) × R
    4.12700000000932e-05 × 6371000     		dr = 262.931170000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79178543-1.79188131) × cos(-1.12579933) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.430455169574011 × 6371000     		do = 262.944177407763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79178543-1.79188131) × cos(-1.12584060) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.43041791841193 × 6371000     		du = 262.921422480275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12579933)-sin(-1.12584060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430455169574011-0.43041791841193)×R²
    abs(1.79188131-1.79178543)×3.72511620805871e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.72511620805871e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.72511620805871e-05×40589641000000     		ar = 69133.2287306507m²