Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51453 / 48312
↖ ↑ ↗
← S 64.605038°
E102.639771°		 ← 261.94 m → S 64.605038°
E102.645264°		 →
↑
261.91 m
↓
↑
261.91 m
↓
S 64.607393°
E102.639771°		 ← 261.92 m →
68 602 m²		 S 64.607393°
E102.645264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785118103027344 y=0.737190246582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785118103027344 × 216)
    floor (0.785118103027344 × 65536)
    floor (51453.5)     		tx = 51453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737190246582031 × 216)
    floor (0.737190246582031 × 65536)
    floor (48312.5)     		ty = 48312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51453 / 48312 ti = "16/51453/48312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51453/48312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51453 ÷ 216
    51453 ÷ 65536     		x = 0.785110473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48312 ÷ 216
    48312 ÷ 65536     		y = 0.7371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785110473632812 × 2 - 1) × π
    0.570220947265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79140194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.474365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49026233538831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79140194} λ = 1.79140194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49026233538831))-π/2
    2×atan(0.225313540070713)-π/2
    2×0.2216128542545-π/2
    0.443225708509-1.57079632675     		φ = -1.12757062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79140194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.639771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12757062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.605038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51453 KachelY 48312 1.79140194 -1.12757062 102.639771 -64.605038
    Oben rechts KachelX + 1 51454 KachelY 48312 1.79149781 -1.12757062 102.645264 -64.605038
    Unten links KachelX 51453 KachelY + 1 48313 1.79140194 -1.12761173 102.639771 -64.607393
    Unten rechts KachelX + 1 51454 KachelY + 1 48313 1.79149781 -1.12761173 102.645264 -64.607393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12757062--1.12761173) × R
    4.11099999999553e-05 × 6371000     		dl = 261.911809999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12757062--1.12761173) × R
    4.11099999999553e-05 × 6371000     		dr = 261.911809999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79140194-1.79149781) × cos(-1.12757062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.428855707605151 × 6371000     		do = 261.939821299917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79140194-1.79149781) × cos(-1.12761173) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42881856957863 × 6371000     		du = 261.917137847516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12757062)-sin(-1.12761173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428855707605151-0.42881856957863)×R²
    abs(1.79149781-1.79140194)×3.71380265214993e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.71380265214993e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.71380265214993e-05×40589641000000     		ar = 68602.1621854638m²