Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51452 / 48311
↖ ↑ ↗
← S 64.602682°
E102.634278°		 ← 261.96 m → S 64.602682°
E102.639771°		 →
↑
261.98 m
↓
↑
261.98 m
↓
S 64.605038°
E102.634278°		 ← 261.94 m →
68 625 m²		 S 64.605038°
E102.639771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785102844238281 y=0.737174987792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785102844238281 × 216)
    floor (0.785102844238281 × 65536)
    floor (51452.5)     		tx = 51452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737174987792969 × 216)
    floor (0.737174987792969 × 65536)
    floor (48311.5)     		ty = 48311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51452 / 48311 ti = "16/51452/48311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51452/48311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51452 ÷ 216
    51452 ÷ 65536     		x = 0.78509521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48311 ÷ 216
    48311 ÷ 65536     		y = 0.737167358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78509521484375 × 2 - 1) × π
    0.5701904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79130607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737167358398438 × 2 - 1) × π
    -0.474334716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49016646158907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79130607} λ = 1.79130607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49016646158907))-π/2
    2×atan(0.22533514277137)-π/2
    2×0.221633413157864-π/2
    0.443266826315728-1.57079632675     		φ = -1.12752950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79130607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.634278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12752950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.602682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51452 KachelY 48311 1.79130607 -1.12752950 102.634278 -64.602682
    Oben rechts KachelX + 1 51453 KachelY 48311 1.79140194 -1.12752950 102.639771 -64.602682
    Unten links KachelX 51452 KachelY + 1 48312 1.79130607 -1.12757062 102.634278 -64.605038
    Unten rechts KachelX + 1 51453 KachelY + 1 48312 1.79140194 -1.12757062 102.639771 -64.605038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12752950--1.12757062) × R
    4.11199999998946e-05 × 6371000     		dl = 261.975519999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12752950--1.12757062) × R
    4.11199999998946e-05 × 6371000     		dr = 261.975519999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79130607-1.79140194) × cos(-1.12752950) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.428892853940447 × 6371000     		do = 261.962509827215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79130607-1.79140194) × cos(-1.12757062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.428855707605151 × 6371000     		du = 261.939821299917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12752950)-sin(-1.12757062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428892853940447-0.428855707605151)×R²
    abs(1.79140194-1.79130607)×3.71463352952794e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.71463352952794e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.71463352952794e-05×40589641000000     		ar = 68624.7928223726m²