Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51450 / 48314
↖ ↑ ↗
← S 64.609748°
E102.623291°		 ← 261.89 m → S 64.609748°
E102.628784°		 →
↑
261.91 m
↓
↑
261.91 m
↓
S 64.612104°
E102.623291°		 ← 261.87 m →
68 590 m²		 S 64.612104°
E102.628784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785072326660156 y=0.737220764160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785072326660156 × 216)
    floor (0.785072326660156 × 65536)
    floor (51450.5)     		tx = 51450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737220764160156 × 216)
    floor (0.737220764160156 × 65536)
    floor (48314.5)     		ty = 48314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51450 / 48314 ti = "16/51450/48314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51450/48314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51450 ÷ 216
    51450 ÷ 65536     		x = 0.785064697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48314 ÷ 216
    48314 ÷ 65536     		y = 0.737213134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785064697265625 × 2 - 1) × π
    0.57012939453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79111432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737213134765625 × 2 - 1) × π
    -0.47442626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49045408298679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79111432} λ = 1.79111432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49045408298679))-π/2
    2×atan(0.225270340882302)-π/2
    2×0.221571741789229-π/2
    0.443143483578459-1.57079632675     		φ = -1.12765284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79111432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.623291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12765284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.609748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51450 KachelY 48314 1.79111432 -1.12765284 102.623291 -64.609748
    Oben rechts KachelX + 1 51451 KachelY 48314 1.79121019 -1.12765284 102.628784 -64.609748
    Unten links KachelX 51450 KachelY + 1 48315 1.79111432 -1.12769395 102.623291 -64.612104
    Unten rechts KachelX + 1 51451 KachelY + 1 48315 1.79121019 -1.12769395 102.628784 -64.612104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12765284--1.12769395) × R
    4.11099999999553e-05 × 6371000     		dl = 261.911809999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12765284--1.12769395) × R
    4.11099999999553e-05 × 6371000     		dr = 261.911809999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79111432-1.79121019) × cos(-1.12765284) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.428781430827391 × 6371000     		do = 261.894453952466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79111432-1.79121019) × cos(-1.12769395) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.428744291351498 × 6371000     		du = 261.871769614806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12765284)-sin(-1.12769395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428781430827391-0.428744291351498)×R²
    abs(1.79121019-1.79111432)×3.71394758930665e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.71394758930665e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.71394758930665e-05×40589641000000     		ar = 68590.2798251893m²