Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5145 / 1207
↖ ↑ ↗
← N 77.551572°
E 46.098633°		 ← 1 053.34 m → N 77.551572°
E 46.142578°		 →
↑
1 053.76 m
↓
↑
1 053.76 m
↓
N 77.542096°
E 46.098633°		 ← 1 054.13 m →
1 110 383 m²		 N 77.542096°
E 46.142578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62811279296875 y=0.14739990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62811279296875 × 213)
    floor (0.62811279296875 × 8192)
    floor (5145.5)     		tx = 5145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14739990234375 × 213)
    floor (0.14739990234375 × 8192)
    floor (1207.5)     		ty = 1207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5145 / 1207 ti = "13/5145/1207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5145/1207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5145 ÷ 213
    5145 ÷ 8192     		x = 0.6280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1207 ÷ 213
    1207 ÷ 8192     		y = 0.1473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6280517578125 × 2 - 1) × π
    0.256103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80457292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1473388671875 × 2 - 1) × π
    0.705322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21583524803748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80457292} λ = 0.80457292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21583524803748))-π/2
    2×atan(9.16906435715915)-π/2
    2×1.46216330257516-π/2
    2.92432660515032-1.57079632675     		φ = 1.35353028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80457292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.098633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35353028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.551572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5145 KachelY 1207 0.80457292 1.35353028 46.098633 77.551572
    Oben rechts KachelX + 1 5146 KachelY 1207 0.80533991 1.35353028 46.142578 77.551572
    Unten links KachelX 5145 KachelY + 1 1208 0.80457292 1.35336488 46.098633 77.542096
    Unten rechts KachelX + 1 5146 KachelY + 1 1208 0.80533991 1.35336488 46.142578 77.542096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35353028-1.35336488) × R
    0.000165399999999982 × 6371000     		dl = 1053.76339999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35353028-1.35336488) × R
    0.000165399999999982 × 6371000     		dr = 1053.76339999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80457292-0.80533991) × cos(1.35353028) × R
    0.000766990000000023 × 0.215560752866987 × 6371000     		do = 1053.33617247191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80457292-0.80533991) × cos(1.35336488) × R
    0.000766990000000023 × 0.215722261434972 × 6371000     		du = 1054.12538300565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35353028)-sin(1.35336488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215560752866987-0.215722261434972)×R²
    abs(0.80533991-0.80457292)×0.000161508567985025×R²
    0.000766990000000023×0.000161508567985025×6371000²
    0.000766990000000023×0.000161508567985025×40589641000000     		ar = 1110382.92956555m²