Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51448 / 48280
↖ ↑ ↗
← S 64.529548°
E102.612305°		 ← 262.67 m → S 64.529548°
E102.617798°		 →
↑
262.68 m
↓
↑
262.68 m
↓
S 64.531910°
E102.612305°		 ← 262.64 m →
68 993 m²		 S 64.531910°
E102.617798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785041809082031 y=0.736701965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785041809082031 × 216)
    floor (0.785041809082031 × 65536)
    floor (51448.5)     		tx = 51448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736701965332031 × 216)
    floor (0.736701965332031 × 65536)
    floor (48280.5)     		ty = 48280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51448 / 48280 ti = "16/51448/48280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51448/48280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51448 ÷ 216
    51448 ÷ 65536     		x = 0.7850341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48280 ÷ 216
    48280 ÷ 65536     		y = 0.7366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7850341796875 × 2 - 1) × π
    0.570068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79092257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7366943359375 × 2 - 1) × π
    -0.473388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48719437381262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79092257} λ = 1.79092257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48719437381262))-π/2
    2×atan(0.22600585480861)-π/2
    2×0.222271622954443-π/2
    0.444543245908885-1.57079632675     		φ = -1.12625308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79092257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12625308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.529548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51448 KachelY 48280 1.79092257 -1.12625308 102.612305 -64.529548
    Oben rechts KachelX + 1 51449 KachelY 48280 1.79101844 -1.12625308 102.617798 -64.529548
    Unten links KachelX 51448 KachelY + 1 48281 1.79092257 -1.12629431 102.612305 -64.531910
    Unten rechts KachelX + 1 51449 KachelY + 1 48281 1.79101844 -1.12629431 102.617798 -64.531910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12625308--1.12629431) × R
    4.12300000001142e-05 × 6371000     		dl = 262.676330000728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12625308--1.12629431) × R
    4.12300000001142e-05 × 6371000     		dr = 262.676330000728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79092257-1.79101844) × cos(-1.12625308) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430045565099052 × 6371000     		do = 262.666571705234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79092257-1.79101844) × cos(-1.12629431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430008341993335 × 6371000     		du = 262.643836287501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12625308)-sin(-1.12629431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430045565099052-0.430008341993335)×R²
    abs(1.79101844-1.79092257)×3.72231057162997e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72231057162997e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72231057162997e-05×40589641000000     		ar = 68993.3050514245m²