Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51447 / 49877
↖ ↑ ↗
← S 68.050730°
E102.606812°		 ← 228.30 m → S 68.050730°
E102.612305°		 →
↑
228.34 m
↓
↑
228.34 m
↓
S 68.052783°
E102.606812°		 ← 228.28 m →
52 128 m²		 S 68.052783°
E102.612305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785026550292969 y=0.761070251464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785026550292969 × 216)
    floor (0.785026550292969 × 65536)
    floor (51447.5)     		tx = 51447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761070251464844 × 216)
    floor (0.761070251464844 × 65536)
    floor (49877.5)     		ty = 49877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51447 / 49877 ti = "16/51447/49877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51447/49877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51447 ÷ 216
    51447 ÷ 65536     		x = 0.785018920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49877 ÷ 216
    49877 ÷ 65536     		y = 0.761062622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785018920898438 × 2 - 1) × π
    0.570037841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79082670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761062622070312 × 2 - 1) × π
    -0.522125244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64030483119908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79082670} λ = 1.79082670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64030483119908))-π/2
    2×atan(0.193920920133599)-π/2
    2×0.19154351612015-π/2
    0.383087032240301-1.57079632675     		φ = -1.18770929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79082670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.606812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18770929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.050730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51447 KachelY 49877 1.79082670 -1.18770929 102.606812 -68.050730
    Oben rechts KachelX + 1 51448 KachelY 49877 1.79092257 -1.18770929 102.612305 -68.050730
    Unten links KachelX 51447 KachelY + 1 49878 1.79082670 -1.18774513 102.606812 -68.052783
    Unten rechts KachelX + 1 51448 KachelY + 1 49878 1.79092257 -1.18774513 102.612305 -68.052783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18770929--1.18774513) × R
    3.58400000000092e-05 × 6371000     		dl = 228.336640000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18770929--1.18774513) × R
    3.58400000000092e-05 × 6371000     		dr = 228.336640000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79082670-1.79092257) × cos(-1.18770929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373785519362926 × 6371000     		do = 228.303623829968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79082670-1.79092257) × cos(-1.18774513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373752276979273 × 6371000     		du = 228.283319788588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18770929)-sin(-1.18774513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373785519362926-0.373752276979273)×R²
    abs(1.79092257-1.79082670)×3.32423836525986e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32423836525986e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32423836525986e-05×40589641000000     		ar = 52127.764292349m²