Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51446 / 48275
↖ ↑ ↗
← S 64.517734°
E102.601318°		 ← 262.81 m → S 64.517734°
E102.606812°		 →
↑
262.74 m
↓
↑
262.74 m
↓
S 64.520097°
E102.601318°		 ← 262.78 m →
69 047 m²		 S 64.520097°
E102.606812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785011291503906 y=0.736625671386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785011291503906 × 216)
    floor (0.785011291503906 × 65536)
    floor (51446.5)     		tx = 51446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736625671386719 × 216)
    floor (0.736625671386719 × 65536)
    floor (48275.5)     		ty = 48275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51446 / 48275 ti = "16/51446/48275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51446/48275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51446 ÷ 216
    51446 ÷ 65536     		x = 0.785003662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48275 ÷ 216
    48275 ÷ 65536     		y = 0.736618041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785003662109375 × 2 - 1) × π
    0.57000732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79073082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736618041992188 × 2 - 1) × π
    -0.473236083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48671500481642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79073082} λ = 1.79073082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48671500481642))-π/2
    2×atan(0.226114220979982)-π/2
    2×0.222374720516509-π/2
    0.444749441033018-1.57079632675     		φ = -1.12604689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79073082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.601318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12604689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.517734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51446 KachelY 48275 1.79073082 -1.12604689 102.601318 -64.517734
    Oben rechts KachelX + 1 51447 KachelY 48275 1.79082670 -1.12604689 102.606812 -64.517734
    Unten links KachelX 51446 KachelY + 1 48276 1.79073082 -1.12608813 102.601318 -64.520097
    Unten rechts KachelX + 1 51447 KachelY + 1 48276 1.79082670 -1.12608813 102.606812 -64.520097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12604689--1.12608813) × R
    4.12400000000535e-05 × 6371000     		dl = 262.740040000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12604689--1.12608813) × R
    4.12400000000535e-05 × 6371000     		dr = 262.740040000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79073082-1.79082670) × cos(-1.12604689) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.430231705769507 × 6371000     		do = 262.807674212056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79073082-1.79082670) × cos(-1.12608813) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.430194477292971 × 6371000     		du = 262.784933142065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12604689)-sin(-1.12608813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430231705769507-0.430194477292971)×R²
    abs(1.79082670-1.79073082)×3.72284765363107e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.72284765363107e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.72284765363107e-05×40589641000000     		ar = 69047.111349814m²