Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51443 / 48270
↖ ↑ ↗
← S 64.505915°
E102.584839°		 ← 262.89 m → S 64.505915°
E102.590332°		 →
↑
262.93 m
↓
↑
262.93 m
↓
S 64.508279°
E102.584839°		 ← 262.87 m →
69 120 m²		 S 64.508279°
E102.590332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784965515136719 y=0.736549377441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784965515136719 × 216)
    floor (0.784965515136719 × 65536)
    floor (51443.5)     		tx = 51443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736549377441406 × 216)
    floor (0.736549377441406 × 65536)
    floor (48270.5)     		ty = 48270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51443 / 48270 ti = "16/51443/48270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51443/48270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51443 ÷ 216
    51443 ÷ 65536     		x = 0.784957885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48270 ÷ 216
    48270 ÷ 65536     		y = 0.736541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784957885742188 × 2 - 1) × π
    0.569915771484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79044320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736541748046875 × 2 - 1) × π
    -0.47308349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48623563582022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79044320} λ = 1.79044320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48623563582022))-π/2
    2×atan(0.226222639111189)-π/2
    2×0.22247786270218-π/2
    0.444955725404359-1.57079632675     		φ = -1.12584060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79044320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.584839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12584060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.505915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51443 KachelY 48270 1.79044320 -1.12584060 102.584839 -64.505915
    Oben rechts KachelX + 1 51444 KachelY 48270 1.79053907 -1.12584060 102.590332 -64.505915
    Unten links KachelX 51443 KachelY + 1 48271 1.79044320 -1.12588187 102.584839 -64.508279
    Unten rechts KachelX + 1 51444 KachelY + 1 48271 1.79053907 -1.12588187 102.590332 -64.508279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12584060--1.12588187) × R
    4.12699999998711e-05 × 6371000     		dl = 262.931169999179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12584060--1.12588187) × R
    4.12699999998711e-05 × 6371000     		dr = 262.931169999179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79044320-1.79053907) × cos(-1.12584060) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43041791841193 × 6371000     		do = 262.894000554859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79044320-1.79053907) × cos(-1.12588187) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430380666516757 × 6371000     		du = 262.871247552878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12584060)-sin(-1.12588187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43041791841193-0.430380666516757)×R²
    abs(1.79053907-1.79044320)×3.72518951737288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72518951737288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72518951737288e-05×40589641000000     		ar = 69120.0359248012m²