Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51441 / 48291
↖ ↑ ↗
← S 64.555521°
E102.573852°		 ← 262.44 m → S 64.555521°
E102.579346°		 →
↑
262.42 m
↓
↑
262.42 m
↓
S 64.557881°
E102.573852°		 ← 262.42 m →
68 868 m²		 S 64.557881°
E102.579346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784934997558594 y=0.736869812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784934997558594 × 216)
    floor (0.784934997558594 × 65536)
    floor (51441.5)     		tx = 51441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736869812011719 × 216)
    floor (0.736869812011719 × 65536)
    floor (48291.5)     		ty = 48291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51441 / 48291 ti = "16/51441/48291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51441/48291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51441 ÷ 216
    51441 ÷ 65536     		x = 0.784927368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48291 ÷ 216
    48291 ÷ 65536     		y = 0.736862182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784927368164062 × 2 - 1) × π
    0.569854736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79025145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736862182617188 × 2 - 1) × π
    -0.473724365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48824898560426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79025145} λ = 1.79025145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48824898560426))-π/2
    2×atan(0.225767632007516)-π/2
    2×0.222044965319432-π/2
    0.444089930638865-1.57079632675     		φ = -1.12670640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79025145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.573852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12670640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.555521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51441 KachelY 48291 1.79025145 -1.12670640 102.573852 -64.555521
    Oben rechts KachelX + 1 51442 KachelY 48291 1.79034733 -1.12670640 102.579346 -64.555521
    Unten links KachelX 51441 KachelY + 1 48292 1.79025145 -1.12674759 102.573852 -64.557881
    Unten rechts KachelX + 1 51442 KachelY + 1 48292 1.79034733 -1.12674759 102.579346 -64.557881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12670640--1.12674759) × R
    4.11899999999132e-05 × 6371000     		dl = 262.421489999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12670640--1.12674759) × R
    4.11899999999132e-05 × 6371000     		dr = 262.421489999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79025145-1.79034733) × cos(-1.12670640) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.429636260373332 × 6371000     		do = 262.443945510543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79025145-1.79034733) × cos(-1.12674759) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.429599065354862 × 6371000     		du = 262.421224878462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12670640)-sin(-1.12674759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429636260373332-0.429599065354862)×R²
    abs(1.79034733-1.79025145)×3.71950184701597e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.71950184701597e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.71950184701597e-05×40589641000000     		ar = 68867.9500410916m²