Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51440 / 49885
↖ ↑ ↗
← S 68.067150°
E102.568359°		 ← 228.14 m → S 68.067150°
E102.573852°		 →
↑
228.15 m
↓
↑
228.15 m
↓
S 68.069202°
E102.568359°		 ← 228.12 m →
52 047 m²		 S 68.069202°
E102.573852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784919738769531 y=0.761192321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784919738769531 × 216)
    floor (0.784919738769531 × 65536)
    floor (51440.5)     		tx = 51440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761192321777344 × 216)
    floor (0.761192321777344 × 65536)
    floor (49885.5)     		ty = 49885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51440 / 49885 ti = "16/51440/49885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51440/49885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51440 ÷ 216
    51440 ÷ 65536     		x = 0.784912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49885 ÷ 216
    49885 ÷ 65536     		y = 0.761184692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784912109375 × 2 - 1) × π
    0.56982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79015558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761184692382812 × 2 - 1) × π
    -0.522369384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.641071821593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79015558} λ = 1.79015558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.641071821593))-π/2
    2×atan(0.19377224167544)-π/2
    2×0.191400222147731-π/2
    0.382800444295462-1.57079632675     		φ = -1.18799588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79015558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.568359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18799588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.067150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51440 KachelY 49885 1.79015558 -1.18799588 102.568359 -68.067150
    Oben rechts KachelX + 1 51441 KachelY 49885 1.79025145 -1.18799588 102.573852 -68.067150
    Unten links KachelX 51440 KachelY + 1 49886 1.79015558 -1.18803169 102.568359 -68.069202
    Unten rechts KachelX + 1 51441 KachelY + 1 49886 1.79025145 -1.18803169 102.573852 -68.069202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18799588--1.18803169) × R
    3.58100000001915e-05 × 6371000     		dl = 228.14551000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18799588--1.18803169) × R
    3.58100000001915e-05 × 6371000     		dr = 228.14551000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79015558-1.79025145) × cos(-1.18799588) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373519687444559 × 6371000     		do = 228.141256945354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79015558-1.79025145) × cos(-1.18803169) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373486469052216 × 6371000     		du = 228.120967557572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18799588)-sin(-1.18803169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373519687444559-0.373486469052216)×R²
    abs(1.79025145-1.79015558)×3.3218392343104e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3218392343104e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3218392343104e-05×40589641000000     		ar = 52047.0889573544m²