Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51440 / 49880
↖ ↑ ↗
← S 68.056889°
E102.568359°		 ← 228.24 m → S 68.056889°
E102.573852°		 →
↑
228.21 m
↓
↑
228.21 m
↓
S 68.058941°
E102.568359°		 ← 228.22 m →
52 085 m²		 S 68.058941°
E102.573852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784919738769531 y=0.761116027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784919738769531 × 216)
    floor (0.784919738769531 × 65536)
    floor (51440.5)     		tx = 51440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761116027832031 × 216)
    floor (0.761116027832031 × 65536)
    floor (49880.5)     		ty = 49880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51440 / 49880 ti = "16/51440/49880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51440/49880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51440 ÷ 216
    51440 ÷ 65536     		x = 0.784912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49880 ÷ 216
    49880 ÷ 65536     		y = 0.7611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784912109375 × 2 - 1) × π
    0.56982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79015558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7611083984375 × 2 - 1) × π
    -0.522216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6405924525968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79015558} λ = 1.79015558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6405924525968))-π/2
    2×atan(0.193865152347892)-π/2
    2×0.191489768933572-π/2
    0.382979537867143-1.57079632675     		φ = -1.18781679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79015558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.568359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18781679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.056889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51440 KachelY 49880 1.79015558 -1.18781679 102.568359 -68.056889
    Oben rechts KachelX + 1 51441 KachelY 49880 1.79025145 -1.18781679 102.573852 -68.056889
    Unten links KachelX 51440 KachelY + 1 49881 1.79015558 -1.18785261 102.568359 -68.058941
    Unten rechts KachelX + 1 51441 KachelY + 1 49881 1.79025145 -1.18785261 102.573852 -68.058941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18781679--1.18785261) × R
    3.58199999999087e-05 × 6371000     		dl = 228.209219999418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18781679--1.18785261) × R
    3.58199999999087e-05 × 6371000     		dr = 228.209219999418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79015558-1.79025145) × cos(-1.18781679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373685809322857 × 6371000     		do = 228.242722156948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79015558-1.79025145) × cos(-1.18785261) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373652584050714 × 6371000     		du = 228.222428567068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18781679)-sin(-1.18785261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373685809322857-0.373652584050714)×R²
    abs(1.79025145-1.79015558)×3.32252721426118e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32252721426118e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32252721426118e-05×40589641000000     		ar = 52084.7780074752m²