Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51439 / 49881
↖ ↑ ↗
← S 68.058941°
E102.562866°		 ← 228.22 m → S 68.058941°
E102.568359°		 →
↑
228.27 m
↓
↑
228.27 m
↓
S 68.060994°
E102.562866°		 ← 228.20 m →
52 095 m²		 S 68.060994°
E102.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784904479980469 y=0.761131286621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784904479980469 × 216)
    floor (0.784904479980469 × 65536)
    floor (51439.5)     		tx = 51439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761131286621094 × 216)
    floor (0.761131286621094 × 65536)
    floor (49881.5)     		ty = 49881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51439 / 49881 ti = "16/51439/49881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51439/49881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51439 ÷ 216
    51439 ÷ 65536     		x = 0.784896850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49881 ÷ 216
    49881 ÷ 65536     		y = 0.761123657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784896850585938 × 2 - 1) × π
    0.569793701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79005971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761123657226562 × 2 - 1) × π
    -0.522247314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64068832639604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79005971} λ = 1.79005971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64068832639604))-π/2
    2×atan(0.193846566650151)-π/2
    2×0.191471856390874-π/2
    0.382943712781748-1.57079632675     		φ = -1.18785261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79005971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.562866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18785261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.058941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51439 KachelY 49881 1.79005971 -1.18785261 102.562866 -68.058941
    Oben rechts KachelX + 1 51440 KachelY 49881 1.79015558 -1.18785261 102.568359 -68.058941
    Unten links KachelX 51439 KachelY + 1 49882 1.79005971 -1.18788844 102.562866 -68.060994
    Unten rechts KachelX + 1 51440 KachelY + 1 49882 1.79015558 -1.18788844 102.568359 -68.060994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18785261--1.18788844) × R
    3.583000000007e-05 × 6371000     		dl = 228.272930000446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18785261--1.18788844) × R
    3.583000000007e-05 × 6371000     		dr = 228.272930000446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79005971-1.79015558) × cos(-1.18785261) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373652584050714 × 6371000     		do = 228.222428567068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79005971-1.79015558) × cos(-1.18788844) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373619349023327 × 6371000     		du = 228.202129018805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18785261)-sin(-1.18788844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373652584050714-0.373619349023327)×R²
    abs(1.79015558-1.79005971)×3.32350273872239e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32350273872239e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32350273872239e-05×40589641000000     		ar = 52094.685547556m²