Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51435 / 49886
↖ ↑ ↗
← S 68.069202°
E102.540894°		 ← 228.12 m → S 68.069202°
E102.546386°		 →
↑
228.15 m
↓
↑
228.15 m
↓
S 68.071254°
E102.540894°		 ← 228.10 m →
52 042 m²		 S 68.071254°
E102.546386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784843444824219 y=0.761207580566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784843444824219 × 216)
    floor (0.784843444824219 × 65536)
    floor (51435.5)     		tx = 51435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761207580566406 × 216)
    floor (0.761207580566406 × 65536)
    floor (49886.5)     		ty = 49886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51435 / 49886 ti = "16/51435/49886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51435/49886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51435 ÷ 216
    51435 ÷ 65536     		x = 0.784835815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49886 ÷ 216
    49886 ÷ 65536     		y = 0.761199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784835815429688 × 2 - 1) × π
    0.569671630859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78967621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761199951171875 × 2 - 1) × π
    -0.52239990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64116769539224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78967621} λ = 1.78967621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64116769539224))-π/2
    2×atan(0.193753664884971)-π/2
    2×0.191382317568264-π/2
    0.382764635136527-1.57079632675     		φ = -1.18803169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78967621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.540894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18803169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.069202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51435 KachelY 49886 1.78967621 -1.18803169 102.540894 -68.069202
    Oben rechts KachelX + 1 51436 KachelY 49886 1.78977208 -1.18803169 102.546386 -68.069202
    Unten links KachelX 51435 KachelY + 1 49887 1.78967621 -1.18806750 102.540894 -68.071254
    Unten rechts KachelX + 1 51436 KachelY + 1 49887 1.78977208 -1.18806750 102.546386 -68.071254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18803169--1.18806750) × R
    3.58099999999695e-05 × 6371000     		dl = 228.145509999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18803169--1.18806750) × R
    3.58099999999695e-05 × 6371000     		dr = 228.145509999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78967621-1.78977208) × cos(-1.18803169) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373486469052216 × 6371000     		do = 228.120967557572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78967621-1.78977208) × cos(-1.18806750) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373453250180931 × 6371000     		du = 228.100677877258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18803169)-sin(-1.18806750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373486469052216-0.373453250180931)×R²
    abs(1.78977208-1.78967621)×3.32188712854897e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32188712854897e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32188712854897e-05×40589641000000     		ar = 52042.4599911694m²