Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51431 / 48123
↖ ↑ ↗
← S 64.156137°
E102.518921°		 ← 266.25 m → S 64.156137°
E102.524414°		 →
↑
266.24 m
↓
↑
266.24 m
↓
S 64.158531°
E102.518921°		 ← 266.23 m →
70 886 m²		 S 64.158531°
E102.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784782409667969 y=0.734306335449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784782409667969 × 216)
    floor (0.784782409667969 × 65536)
    floor (51431.5)     		tx = 51431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734306335449219 × 216)
    floor (0.734306335449219 × 65536)
    floor (48123.5)     		ty = 48123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51431 / 48123 ti = "16/51431/48123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51431/48123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51431 ÷ 216
    51431 ÷ 65536     		x = 0.784774780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48123 ÷ 216
    48123 ÷ 65536     		y = 0.734298706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784774780273438 × 2 - 1) × π
    0.569549560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78929272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734298706054688 × 2 - 1) × π
    -0.468597412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47214218733192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78929272} λ = 1.78929272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47214218733192))-π/2
    2×atan(0.229433468908743)-π/2
    2×0.225530254119279-π/2
    0.451060508238558-1.57079632675     		φ = -1.11973582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78929272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.518921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11973582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.156137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51431 KachelY 48123 1.78929272 -1.11973582 102.518921 -64.156137
    Oben rechts KachelX + 1 51432 KachelY 48123 1.78938859 -1.11973582 102.524414 -64.156137
    Unten links KachelX 51431 KachelY + 1 48124 1.78929272 -1.11977761 102.518921 -64.158531
    Unten rechts KachelX + 1 51432 KachelY + 1 48124 1.78938859 -1.11977761 102.524414 -64.158531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11973582--1.11977761) × R
    4.17900000000415e-05 × 6371000     		dl = 266.244090000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11973582--1.11977761) × R
    4.17900000000415e-05 × 6371000     		dr = 266.244090000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78929272-1.78938859) × cos(-1.11973582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435920219605388 × 6371000     		do = 266.254738830679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78929272-1.78938859) × cos(-1.11977761) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435882608838556 × 6371000     		du = 266.231766634278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11973582)-sin(-1.11977761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435920219605388-0.435882608838556)×R²
    abs(1.78938859-1.78929272)×3.76107668315084e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76107668315084e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76107668315084e-05×40589641000000     		ar = 70885.6925528228m²