Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5143 / 1208
N 77.542096°
E 46.010742°
← 1 054.13 m → N 77.542096°
E 46.054687°

1 054.53 m

1 054.53 m
N 77.532612°
E 46.010742°
← 1 054.92 m →
1 112 021 m²
N 77.532612°
E 46.054687°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62786865234375 y=0.14752197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62786865234375 × 213)
    floor (0.62786865234375 × 8192)
    floor (5143.5)
    tx = 5143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14752197265625 × 213)
    floor (0.14752197265625 × 8192)
    floor (1208.5)
    ty = 1208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5143 / 1208 ti = "13/5143/1208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5143/1208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5143 ÷ 213
    5143 ÷ 8192
    x = 0.6278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1208 ÷ 213
    1208 ÷ 8192
    y = 0.1474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.6278076171875 × 2 - 1) × π
    0.255615234375 × 3.1415926535
    Λ = 0.80303894
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.1474609375 × 2 - 1) × π
    0.705078125 × 3.1415926535
    Φ = 2.21506825764355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80303894} λ = 0.80303894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21506825764355))-π/2
    2×atan(9.16203446914887)-π/2
    2×1.46208060509691-π/2
    2.92416121019382-1.57079632675
    φ = 1.35336488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80303894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.010742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35336488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.542096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5143 KachelY 1208 0.80303894 1.35336488 46.010742 77.542096
    Oben rechts KachelX + 1 5144 KachelY 1208 0.80380593 1.35336488 46.054687 77.542096
    Unten links KachelX 5143 KachelY + 1 1209 0.80303894 1.35319936 46.010742 77.532612
    Unten rechts KachelX + 1 5144 KachelY + 1 1209 0.80380593 1.35319936 46.054687 77.532612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.35336488-1.35319936) × R
    0.000165519999999919 × 6371000
    dl = 1054.52791999948m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.35336488-1.35319936) × R
    0.000165519999999919 × 6371000
    dr = 1054.52791999948m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.80303894-0.80380593) × cos(1.35336488) × R
    0.000766990000000023 × 0.215722261434972 × 6371000
    do = 1054.12538300565m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.80303894-0.80380593) × cos(1.35319936) × R
    0.000766990000000023 × 0.215883881271695 × 6371000
    du = 1054.91513725333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.35336488)-sin(1.35319936))×
    abs(λ12)×abs(0.215722261434972-0.215883881271695)×
    abs(0.80380593-0.80303894)×0.000161619836723415×
    0.000766990000000023×0.000161619836723415×6371000²
    0.000766990000000023×0.000161619836723415×40589641000000
    ar = 1112021.05905035m²