Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51429 / 84389
↖ ↑ ↗
← S 45.899566°
W 38.746033°		 ← 212.51 m → S 45.899566°
W 38.743286°		 →
↑
212.54 m
↓
↑
212.54 m
↓
S 45.901477°
W 38.746033°		 ← 212.50 m →
45 165 m²		 S 45.901477°
W 38.743286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.392375946044922 y=0.643840789794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.392375946044922 × 217)
    floor (0.392375946044922 × 131072)
    floor (51429.5)     		tx = 51429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643840789794922 × 217)
    floor (0.643840789794922 × 131072)
    floor (84389.5)     		ty = 84389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51429 / 84389 ti = "17/51429/84389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51429/84389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51429 ÷ 217
    51429 ÷ 131072     		x = 0.392372131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84389 ÷ 217
    84389 ÷ 131072     		y = 0.643836975097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.392372131347656 × 2 - 1) × π
    -0.215255737304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.67624584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643836975097656 × 2 - 1) × π
    -0.287673950195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.903754368536919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67624584} λ = -0.67624584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903754368536919))-π/2
    2×atan(0.405046109176727)-π/2
    2×0.384848887754378-π/2
    0.769697775508757-1.57079632675     		φ = -0.80109855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67624584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.746033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80109855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.899566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51429 KachelY 84389 -0.67624584 -0.80109855 -38.746033 -45.899566
    Oben rechts KachelX + 1 51430 KachelY 84389 -0.67619791 -0.80109855 -38.743286 -45.899566
    Unten links KachelX 51429 KachelY + 1 84390 -0.67624584 -0.80113191 -38.746033 -45.901477
    Unten rechts KachelX + 1 51430 KachelY + 1 84390 -0.67619791 -0.80113191 -38.743286 -45.901477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80109855--0.80113191) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dl = 212.536559999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80109855--0.80113191) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dr = 212.536559999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67624584--0.67619791) × cos(-0.80109855) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.695918237575011 × 6371000     		do = 212.507005740058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67624584--0.67619791) × cos(-0.80113191) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.69589428067038 × 6371000     		du = 212.499690211027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80109855)-sin(-0.80113191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695918237575011-0.69589428067038)×R²
    abs(-0.67619791--0.67624584)×2.39569046310839e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39569046310839e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39569046310839e-05×40589641000000     		ar = 45164.7305713779m²