Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51429 / 49607
↖ ↑ ↗
← S 67.489648°
E102.507935°		 ← 233.84 m → S 67.489648°
E102.513428°		 →
↑
233.88 m
↓
↑
233.88 m
↓
S 67.491751°
E102.507935°		 ← 233.82 m →
54 688 m²		 S 67.491751°
E102.513428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784751892089844 y=0.756950378417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784751892089844 × 216)
    floor (0.784751892089844 × 65536)
    floor (51429.5)     		tx = 51429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756950378417969 × 216)
    floor (0.756950378417969 × 65536)
    floor (49607.5)     		ty = 49607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51429 / 49607 ti = "16/51429/49607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51429/49607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51429 ÷ 216
    51429 ÷ 65536     		x = 0.784744262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49607 ÷ 216
    49607 ÷ 65536     		y = 0.756942749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784744262695312 × 2 - 1) × π
    0.569488525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78910097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756942749023438 × 2 - 1) × π
    -0.513885498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61441890540425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78910097} λ = 1.78910097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61441890540425))-π/2
    2×atan(0.199006278320862)-π/2
    2×0.196439875894709-π/2
    0.392879751789418-1.57079632675     		φ = -1.17791657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78910097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.507935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17791657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.489648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51429 KachelY 49607 1.78910097 -1.17791657 102.507935 -67.489648
    Oben rechts KachelX + 1 51430 KachelY 49607 1.78919684 -1.17791657 102.513428 -67.489648
    Unten links KachelX 51429 KachelY + 1 49608 1.78910097 -1.17795328 102.507935 -67.491751
    Unten rechts KachelX + 1 51430 KachelY + 1 49608 1.78919684 -1.17795328 102.513428 -67.491751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17791657--1.17795328) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dl = 233.879410000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17791657--1.17795328) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dr = 233.879410000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78910097-1.78919684) × cos(-1.17791657) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382850348141508 × 6371000     		do = 233.84031038507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78910097-1.78919684) × cos(-1.17795328) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382816434804641 × 6371000     		du = 233.819596533672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17791657)-sin(-1.17795328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382850348141508-0.382816434804641)×R²
    abs(1.78919684-1.78910097)×3.39133368670308e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39133368670308e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39133368670308e-05×40589641000000     		ar = 54688.011561702m²