Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51428 / 48124
↖ ↑ ↗
← S 64.158531°
E102.502441°		 ← 266.26 m → S 64.158531°
E102.507935°		 →
↑
266.24 m
↓
↑
266.24 m
↓
S 64.160925°
E102.502441°		 ← 266.24 m →
70 887 m²		 S 64.160925°
E102.507935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784736633300781 y=0.734321594238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784736633300781 × 216)
    floor (0.784736633300781 × 65536)
    floor (51428.5)     		tx = 51428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734321594238281 × 216)
    floor (0.734321594238281 × 65536)
    floor (48124.5)     		ty = 48124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51428 / 48124 ti = "16/51428/48124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51428/48124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51428 ÷ 216
    51428 ÷ 65536     		x = 0.78472900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48124 ÷ 216
    48124 ÷ 65536     		y = 0.73431396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78472900390625 × 2 - 1) × π
    0.5694580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78900509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73431396484375 × 2 - 1) × π
    -0.4686279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47223806113116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78900509} λ = 1.78900509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47223806113116))-π/2
    2×atan(0.229411473304824)-π/2
    2×0.225509358356922-π/2
    0.451018716713843-1.57079632675     		φ = -1.11977761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78900509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.502441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11977761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.158531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51428 KachelY 48124 1.78900509 -1.11977761 102.502441 -64.158531
    Oben rechts KachelX + 1 51429 KachelY 48124 1.78910097 -1.11977761 102.507935 -64.158531
    Unten links KachelX 51428 KachelY + 1 48125 1.78900509 -1.11981940 102.502441 -64.160925
    Unten rechts KachelX + 1 51429 KachelY + 1 48125 1.78910097 -1.11981940 102.507935 -64.160925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11977761--1.11981940) × R
    4.17899999998195e-05 × 6371000     		dl = 266.24408999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11977761--1.11981940) × R
    4.17899999998195e-05 × 6371000     		dr = 266.24408999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78900509-1.78910097) × cos(-1.11977761) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.435882608838556 × 6371000     		do = 266.259536715119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78900509-1.78910097) × cos(-1.11981940) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.435844997310498 × 6371000     		du = 266.236561657539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11977761)-sin(-1.11981940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435882608838556-0.435844997310498)×R²
    abs(1.78910097-1.78900509)×3.76115280584788e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.76115280584788e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.76115280584788e-05×40589641000000     		ar = 70886.9695799848m²