Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51422 / 49887
↖ ↑ ↗
← S 68.071254°
E102.469482°		 ← 228.10 m → S 68.071254°
E102.474975°		 →
↑
228.08 m
↓
↑
228.08 m
↓
S 68.073305°
E102.469482°		 ← 228.08 m →
52 023 m²		 S 68.073305°
E102.474975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784645080566406 y=0.761222839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784645080566406 × 216)
    floor (0.784645080566406 × 65536)
    floor (51422.5)     		tx = 51422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761222839355469 × 216)
    floor (0.761222839355469 × 65536)
    floor (49887.5)     		ty = 49887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51422 / 49887 ti = "16/51422/49887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51422/49887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51422 ÷ 216
    51422 ÷ 65536     		x = 0.784637451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49887 ÷ 216
    49887 ÷ 65536     		y = 0.761215209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784637451171875 × 2 - 1) × π
    0.56927490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78842985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761215209960938 × 2 - 1) × π
    -0.522430419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64126356919148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78842985} λ = 1.78842985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64126356919148))-π/2
    2×atan(0.193735089875444)-π/2
    2×0.191364414581086-π/2
    0.382728829162172-1.57079632675     		φ = -1.18806750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78842985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.469482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18806750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.071254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51422 KachelY 49887 1.78842985 -1.18806750 102.469482 -68.071254
    Oben rechts KachelX + 1 51423 KachelY 49887 1.78852572 -1.18806750 102.474975 -68.071254
    Unten links KachelX 51422 KachelY + 1 49888 1.78842985 -1.18810330 102.469482 -68.073305
    Unten rechts KachelX + 1 51423 KachelY + 1 49888 1.78852572 -1.18810330 102.474975 -68.073305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18806750--1.18810330) × R
    3.58000000000303e-05 × 6371000     		dl = 228.081800000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18806750--1.18810330) × R
    3.58000000000303e-05 × 6371000     		dr = 228.081800000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78842985-1.78852572) × cos(-1.18806750) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373453250180931 × 6371000     		do = 228.100677877258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78842985-1.78852572) × cos(-1.18810330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373420040107369 × 6371000     		du = 228.080393570485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18806750)-sin(-1.18810330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373453250180931-0.373420040107369)×R²
    abs(1.78852572-1.78842985)×3.32100735618845e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32100735618845e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32100735618845e-05×40589641000000     		ar = 52023.2999561763m²