Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51421 / 50045
↖ ↑ ↗
← S 68.393113°
E102.463989°		 ← 224.91 m → S 68.393113°
E102.469482°		 →
↑
224.90 m
↓
↑
224.90 m
↓
S 68.395135°
E102.463989°		 ← 224.89 m →
50 580 m²		 S 68.395135°
E102.469482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784629821777344 y=0.763633728027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784629821777344 × 216)
    floor (0.784629821777344 × 65536)
    floor (51421.5)     		tx = 51421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763633728027344 × 216)
    floor (0.763633728027344 × 65536)
    floor (50045.5)     		ty = 50045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51421 / 50045 ti = "16/51421/50045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51421/50045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51421 ÷ 216
    51421 ÷ 65536     		x = 0.784622192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50045 ÷ 216
    50045 ÷ 65536     		y = 0.763626098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784622192382812 × 2 - 1) × π
    0.569244384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78833398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763626098632812 × 2 - 1) × π
    -0.527252197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65641162947142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78833398} λ = 1.78833398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65641162947142))-π/2
    2×atan(0.190822494832675)-π/2
    2×0.188555663937147-π/2
    0.377111327874294-1.57079632675     		φ = -1.19368500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78833398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.463989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19368500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.393113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51421 KachelY 50045 1.78833398 -1.19368500 102.463989 -68.393113
    Oben rechts KachelX + 1 51422 KachelY 50045 1.78842985 -1.19368500 102.469482 -68.393113
    Unten links KachelX 51421 KachelY + 1 50046 1.78833398 -1.19372030 102.463989 -68.395135
    Unten rechts KachelX + 1 51422 KachelY + 1 50046 1.78842985 -1.19372030 102.469482 -68.395135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19368500--1.19372030) × R
    3.52999999999604e-05 × 6371000     		dl = 224.896299999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19368500--1.19372030) × R
    3.52999999999604e-05 × 6371000     		dr = 224.896299999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78833398-1.78842985) × cos(-1.19368500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368236316935067 × 6371000     		do = 224.914238853778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78833398-1.78842985) × cos(-1.19372030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368203497158014 × 6371000     		du = 224.89419293534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19368500)-sin(-1.19372030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368236316935067-0.368203497158014)×R²
    abs(1.78842985-1.78833398)×3.28197770524397e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28197770524397e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28197770524397e-05×40589641000000     		ar = 50580.1260141581m²