Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51421 / 48166
↖ ↑ ↗
← S 64.258913°
E102.463989°		 ← 265.27 m → S 64.258913°
E102.469482°		 →
↑
265.29 m
↓
↑
265.29 m
↓
S 64.261298°
E102.463989°		 ← 265.25 m →
70 370 m²		 S 64.261298°
E102.469482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784629821777344 y=0.734962463378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784629821777344 × 216)
    floor (0.784629821777344 × 65536)
    floor (51421.5)     		tx = 51421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734962463378906 × 216)
    floor (0.734962463378906 × 65536)
    floor (48166.5)     		ty = 48166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51421 / 48166 ti = "16/51421/48166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51421/48166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51421 ÷ 216
    51421 ÷ 65536     		x = 0.784622192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48166 ÷ 216
    48166 ÷ 65536     		y = 0.734954833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784622192382812 × 2 - 1) × π
    0.569244384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78833398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734954833984375 × 2 - 1) × π
    -0.46990966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47626476069925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78833398} λ = 1.78833398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47626476069925))-π/2
    2×atan(0.228489559604785)-π/2
    2×0.224633362931714-π/2
    0.449266725863428-1.57079632675     		φ = -1.12152960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78833398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.463989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12152960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.258913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51421 KachelY 48166 1.78833398 -1.12152960 102.463989 -64.258913
    Oben rechts KachelX + 1 51422 KachelY 48166 1.78842985 -1.12152960 102.469482 -64.258913
    Unten links KachelX 51421 KachelY + 1 48167 1.78833398 -1.12157124 102.463989 -64.261298
    Unten rechts KachelX + 1 51422 KachelY + 1 48167 1.78842985 -1.12157124 102.469482 -64.261298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12152960--1.12157124) × R
    4.1640000000065e-05 × 6371000     		dl = 265.288440000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12152960--1.12157124) × R
    4.1640000000065e-05 × 6371000     		dr = 265.288440000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78833398-1.78842985) × cos(-1.12152960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.434305143499417 × 6371000     		do = 265.268270097533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78833398-1.78842985) × cos(-1.12157124) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43426763523463 × 6371000     		du = 265.245360508127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12152960)-sin(-1.12157124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434305143499417-0.43426763523463)×R²
    abs(1.78842985-1.78833398)×3.7508264786823e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7508264786823e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7508264786823e-05×40589641000000     		ar = 70369.5667410013m²