Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51420 / 50044
↖ ↑ ↗
← S 68.391089°
E102.458496°		 ← 224.96 m → S 68.391089°
E102.463989°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
S 68.393113°
E102.458496°		 ← 224.94 m →
50 604 m²		 S 68.393113°
E102.463989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784614562988281 y=0.763618469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784614562988281 × 216)
    floor (0.784614562988281 × 65536)
    floor (51420.5)     		tx = 51420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763618469238281 × 216)
    floor (0.763618469238281 × 65536)
    floor (50044.5)     		ty = 50044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51420 / 50044 ti = "16/51420/50044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51420/50044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51420 ÷ 216
    51420 ÷ 65536     		x = 0.78460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50044 ÷ 216
    50044 ÷ 65536     		y = 0.76361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78460693359375 × 2 - 1) × π
    0.5692138671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78823810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76361083984375 × 2 - 1) × π
    -0.5272216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65631575567218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78823810} λ = 1.78823810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65631575567218))-π/2
    2×atan(0.190840790587263)-π/2
    2×0.188573316831304-π/2
    0.377146633662608-1.57079632675     		φ = -1.19364969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78823810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.458496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19364969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.391089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51420 KachelY 50044 1.78823810 -1.19364969 102.458496 -68.391089
    Oben rechts KachelX + 1 51421 KachelY 50044 1.78833398 -1.19364969 102.463989 -68.391089
    Unten links KachelX 51420 KachelY + 1 50045 1.78823810 -1.19368500 102.458496 -68.393113
    Unten rechts KachelX + 1 51421 KachelY + 1 50045 1.78833398 -1.19368500 102.463989 -68.393113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19364969--1.19368500) × R
    3.53100000001216e-05 × 6371000     		dl = 224.960010000775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19364969--1.19368500) × R
    3.53100000001216e-05 × 6371000     		dr = 224.960010000775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78823810-1.78833398) × cos(-1.19364969) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.368269145550456 × 6371000     		do = 224.957752597684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78823810-1.78833398) × cos(-1.19368500) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.368236316935067 × 6371000     		du = 224.937699189387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19364969)-sin(-1.19368500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368269145550456-0.368236316935067)×R²
    abs(1.78833398-1.78823810)×3.28286153892243e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.28286153892243e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.28286153892243e-05×40589641000000     		ar = 50604.2426719308m²