Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51420 / 49904
↖ ↑ ↗
← S 68.106101°
E102.458496°		 ← 227.78 m → S 68.106101°
E102.463989°		 →
↑
227.76 m
↓
↑
227.76 m
↓
S 68.108150°
E102.458496°		 ← 227.76 m →
51 878 m²		 S 68.108150°
E102.463989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784614562988281 y=0.761482238769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784614562988281 × 216)
    floor (0.784614562988281 × 65536)
    floor (51420.5)     		tx = 51420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761482238769531 × 216)
    floor (0.761482238769531 × 65536)
    floor (49904.5)     		ty = 49904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51420 / 49904 ti = "16/51420/49904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51420/49904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51420 ÷ 216
    51420 ÷ 65536     		x = 0.78460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49904 ÷ 216
    49904 ÷ 65536     		y = 0.761474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78460693359375 × 2 - 1) × π
    0.5692138671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78823810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761474609375 × 2 - 1) × π
    -0.52294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64289342377856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78823810} λ = 1.78823810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64289342377856))-π/2
    2×atan(0.193419587032253)-π/2
    2×0.191060307304475-π/2
    0.382120614608949-1.57079632675     		φ = -1.18867571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78823810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.458496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18867571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.106101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51420 KachelY 49904 1.78823810 -1.18867571 102.458496 -68.106101
    Oben rechts KachelX + 1 51421 KachelY 49904 1.78833398 -1.18867571 102.463989 -68.106101
    Unten links KachelX 51420 KachelY + 1 49905 1.78823810 -1.18871146 102.458496 -68.108150
    Unten rechts KachelX + 1 51421 KachelY + 1 49905 1.78833398 -1.18871146 102.463989 -68.108150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18867571--1.18871146) × R
    3.574999999989e-05 × 6371000     		dl = 227.763249999299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18867571--1.18871146) × R
    3.574999999989e-05 × 6371000     		dr = 227.763249999299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78823810-1.78833398) × cos(-1.18867571) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.372888975742732 × 6371000     		do = 227.779782707982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78823810-1.78833398) × cos(-1.18871146) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.3728558039386 × 6371000     		du = 227.759519662334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18867571)-sin(-1.18871146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372888975742732-0.3728558039386)×R²
    abs(1.78833398-1.78823810)×3.31718041322593e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.31718041322593e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.31718041322593e-05×40589641000000     		ar = 51877.5560105102m²