Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51419 / 49903
↖ ↑ ↗
← S 68.104053°
E102.453003°		 ← 227.78 m → S 68.104053°
E102.458496°		 →
↑
227.76 m
↓
↑
227.76 m
↓
S 68.106101°
E102.453003°		 ← 227.76 m →
51 877 m²		 S 68.106101°
E102.458496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784599304199219 y=0.761466979980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784599304199219 × 216)
    floor (0.784599304199219 × 65536)
    floor (51419.5)     		tx = 51419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761466979980469 × 216)
    floor (0.761466979980469 × 65536)
    floor (49903.5)     		ty = 49903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51419 / 49903 ti = "16/51419/49903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51419/49903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51419 ÷ 216
    51419 ÷ 65536     		x = 0.784591674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49903 ÷ 216
    49903 ÷ 65536     		y = 0.761459350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784591674804688 × 2 - 1) × π
    0.569183349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78814223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761459350585938 × 2 - 1) × π
    -0.522918701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64279754997932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78814223} λ = 1.78814223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64279754997932))-π/2
    2×atan(0.193438131791873)-π/2
    2×0.191078183240874-π/2
    0.382156366481748-1.57079632675     		φ = -1.18863996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78814223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.453003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18863996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.104053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51419 KachelY 49903 1.78814223 -1.18863996 102.453003 -68.104053
    Oben rechts KachelX + 1 51420 KachelY 49903 1.78823810 -1.18863996 102.458496 -68.104053
    Unten links KachelX 51419 KachelY + 1 49904 1.78814223 -1.18867571 102.453003 -68.106101
    Unten rechts KachelX + 1 51420 KachelY + 1 49904 1.78823810 -1.18867571 102.458496 -68.106101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18863996--1.18867571) × R
    3.57500000001121e-05 × 6371000     		dl = 227.763250000714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18863996--1.18867571) × R
    3.57500000001121e-05 × 6371000     		dr = 227.763250000714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78814223-1.78823810) × cos(-1.18863996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.372922147070289 × 6371000     		do = 227.776286592669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78814223-1.78823810) × cos(-1.18867571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.372888975742732 × 6371000     		du = 227.756025951482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18863996)-sin(-1.18867571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372922147070289-0.372888975742732)×R²
    abs(1.78823810-1.78814223)×3.31713275570356e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.31713275570356e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31713275570356e-05×40589641000000     		ar = 51876.7599982712m²