Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51418 / 50035
↖ ↑ ↗
← S 68.372876°
E102.447510°		 ← 225.11 m → S 68.372876°
E102.453003°		 →
↑
225.09 m
↓
↑
225.09 m
↓
S 68.374900°
E102.447510°		 ← 225.09 m →
50 668 m²		 S 68.374900°
E102.453003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784584045410156 y=0.763481140136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784584045410156 × 216)
    floor (0.784584045410156 × 65536)
    floor (51418.5)     		tx = 51418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763481140136719 × 216)
    floor (0.763481140136719 × 65536)
    floor (50035.5)     		ty = 50035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51418 / 50035 ti = "16/51418/50035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51418/50035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51418 ÷ 216
    51418 ÷ 65536     		x = 0.784576416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50035 ÷ 216
    50035 ÷ 65536     		y = 0.763473510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784576416015625 × 2 - 1) × π
    0.56915283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78804636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763473510742188 × 2 - 1) × π
    -0.526947021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65545289147902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78804636} λ = 1.78804636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65545289147902))-π/2
    2×atan(0.191005531336281)-π/2
    2×0.188732263703712-π/2
    0.377464527407424-1.57079632675     		φ = -1.19333180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78804636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.447510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19333180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.372876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51418 KachelY 50035 1.78804636 -1.19333180 102.447510 -68.372876
    Oben rechts KachelX + 1 51419 KachelY 50035 1.78814223 -1.19333180 102.453003 -68.372876
    Unten links KachelX 51418 KachelY + 1 50036 1.78804636 -1.19336713 102.447510 -68.374900
    Unten rechts KachelX + 1 51419 KachelY + 1 50036 1.78814223 -1.19336713 102.453003 -68.374900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19333180--1.19336713) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dl = 225.087430000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19333180--1.19336713) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dr = 225.087430000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78804636-1.78814223) × cos(-1.19333180) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368564675382215 × 6371000     		do = 225.114796177472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78804636-1.78814223) × cos(-1.19336713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368531832309707 × 6371000     		du = 225.094736030455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19333180)-sin(-1.19336713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368564675382215-0.368531832309707)×R²
    abs(1.78814223-1.78804636)×3.28430725080042e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28430725080042e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28430725080042e-05×40589641000000     		ar = 50668.253288214m²