Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51417 / 82604
↖ ↑ ↗
← S 42.382894°
W 38.778992°		 ← 225.60 m → S 42.382894°
W 38.776245°		 →
↑
225.60 m
↓
↑
225.60 m
↓
S 42.384923°
W 38.778992°		 ← 225.60 m →
50 895 m²		 S 42.384923°
W 38.776245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.392284393310547 y=0.630222320556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.392284393310547 × 217)
    floor (0.392284393310547 × 131072)
    floor (51417.5)     		tx = 51417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630222320556641 × 217)
    floor (0.630222320556641 × 131072)
    floor (82604.5)     		ty = 82604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51417 / 82604 ti = "17/51417/82604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51417/82604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51417 ÷ 217
    51417 ÷ 131072     		x = 0.392280578613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82604 ÷ 217
    82604 ÷ 131072     		y = 0.630218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.392280578613281 × 2 - 1) × π
    -0.215438842773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.67682109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.26043701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.818187002715118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67682109} λ = -0.67682109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818187002715118))-π/2
    2×atan(0.441230880177863)-π/2
    2×0.415537639910312-π/2
    0.831075279820624-1.57079632675     		φ = -0.73972105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67682109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.778992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73972105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.382894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51417 KachelY 82604 -0.67682109 -0.73972105 -38.778992 -42.382894
    Oben rechts KachelX + 1 51418 KachelY 82604 -0.67677315 -0.73972105 -38.776245 -42.382894
    Unten links KachelX 51417 KachelY + 1 82605 -0.67682109 -0.73975646 -38.778992 -42.384923
    Unten rechts KachelX + 1 51418 KachelY + 1 82605 -0.67677315 -0.73975646 -38.776245 -42.384923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73972105--0.73975646) × R
    3.5409999999958e-05 × 6371000     		dl = 225.597109999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73972105--0.73975646) × R
    3.5409999999958e-05 × 6371000     		dr = 225.597109999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67682109--0.67677315) × cos(-0.73972105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.738656622608833 × 6371000     		do = 225.604745566055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67682109--0.67677315) × cos(-0.73975646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.738632752906038 × 6371000     		du = 225.597455144416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73972105)-sin(-0.73975646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738656622608833-0.738632752906038)×R²
    abs(-0.67677315--0.67682109)×2.38697027944434e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38697027944434e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38697027944434e-05×40589641000000     		ar = 50894.9562580819m²