Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51416 / 50059
↖ ↑ ↗
← S 68.421414°
E102.436524°		 ← 224.63 m → S 68.421414°
E102.442016°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
S 68.423434°
E102.436524°		 ← 224.61 m →
50 460 m²		 S 68.423434°
E102.442016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784553527832031 y=0.763847351074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784553527832031 × 216)
    floor (0.784553527832031 × 65536)
    floor (51416.5)     		tx = 51416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763847351074219 × 216)
    floor (0.763847351074219 × 65536)
    floor (50059.5)     		ty = 50059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51416 / 50059 ti = "16/51416/50059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51416/50059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51416 ÷ 216
    51416 ÷ 65536     		x = 0.7845458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50059 ÷ 216
    50059 ÷ 65536     		y = 0.763839721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7845458984375 × 2 - 1) × π
    0.569091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78785461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763839721679688 × 2 - 1) × π
    -0.527679443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65775386266078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78785461} λ = 1.78785461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65775386266078))-π/2
    2×atan(0.190566538361897)-π/2
    2×0.188308688577949-π/2
    0.376617377155897-1.57079632675     		φ = -1.19417895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78785461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.436524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19417895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.421414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51416 KachelY 50059 1.78785461 -1.19417895 102.436524 -68.421414
    Oben rechts KachelX + 1 51417 KachelY 50059 1.78795048 -1.19417895 102.442016 -68.421414
    Unten links KachelX 51416 KachelY + 1 50060 1.78785461 -1.19421421 102.436524 -68.423434
    Unten rechts KachelX + 1 51417 KachelY + 1 50060 1.78795048 -1.19421421 102.442016 -68.423434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19417895--1.19421421) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dl = 224.641459999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19417895--1.19421421) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dr = 224.641459999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78785461-1.78795048) × cos(-1.19417895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367777030797595 × 6371000     		do = 224.633712498079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78785461-1.78795048) × cos(-1.19421421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367744241801183 × 6371000     		du = 224.613685380081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19417895)-sin(-1.19421421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367777030797595-0.367744241801183)×R²
    abs(1.78795048-1.78785461)×3.27889964116812e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27889964116812e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27889964116812e-05×40589641000000     		ar = 50459.7956856522m²