Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51416 / 48152
↖ ↑ ↗
← S 64.225493°
E102.436524°		 ← 265.59 m → S 64.225493°
E102.442016°		 →
↑
265.61 m
↓
↑
265.61 m
↓
S 64.227881°
E102.436524°		 ← 265.57 m →
70 539 m²		 S 64.227881°
E102.442016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784553527832031 y=0.734748840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784553527832031 × 216)
    floor (0.784553527832031 × 65536)
    floor (51416.5)     		tx = 51416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734748840332031 × 216)
    floor (0.734748840332031 × 65536)
    floor (48152.5)     		ty = 48152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51416 / 48152 ti = "16/51416/48152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51416/48152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51416 ÷ 216
    51416 ÷ 65536     		x = 0.7845458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48152 ÷ 216
    48152 ÷ 65536     		y = 0.7347412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7845458984375 × 2 - 1) × π
    0.569091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78785461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7347412109375 × 2 - 1) × π
    -0.469482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47492252750989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78785461} λ = 1.78785461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47492252750989))-π/2
    2×atan(0.228796451789473)-π/2
    2×0.224925008573356-π/2
    0.449850017146713-1.57079632675     		φ = -1.12094631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78785461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.436524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12094631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.225493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51416 KachelY 48152 1.78785461 -1.12094631 102.436524 -64.225493
    Oben rechts KachelX + 1 51417 KachelY 48152 1.78795048 -1.12094631 102.442016 -64.225493
    Unten links KachelX 51416 KachelY + 1 48153 1.78785461 -1.12098800 102.436524 -64.227881
    Unten rechts KachelX + 1 51417 KachelY + 1 48153 1.78795048 -1.12098800 102.442016 -64.227881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12094631--1.12098800) × R
    4.16900000002052e-05 × 6371000     		dl = 265.606990001307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12094631--1.12098800) × R
    4.16900000002052e-05 × 6371000     		dr = 265.606990001307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78785461-1.78795048) × cos(-1.12094631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.434830477277033 × 6371000     		do = 265.589137544069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78785461-1.78795048) × cos(-1.12098800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.434792934540137 × 6371000     		du = 265.56620689952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12094631)-sin(-1.12098800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434830477277033-0.434792934540137)×R²
    abs(1.78795048-1.78785461)×3.75427368964898e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75427368964898e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75427368964898e-05×40589641000000     		ar = 70539.2861405937m²