Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51415 / 50061
↖ ↑ ↗
← S 68.425454°
E102.431030°		 ← 224.62 m → S 68.425454°
E102.436524°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
S 68.427474°
E102.431030°		 ← 224.60 m →
50 456 m²		 S 68.427474°
E102.436524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784538269042969 y=0.763877868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784538269042969 × 216)
    floor (0.784538269042969 × 65536)
    floor (51415.5)     		tx = 51415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763877868652344 × 216)
    floor (0.763877868652344 × 65536)
    floor (50061.5)     		ty = 50061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51415 / 50061 ti = "16/51415/50061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51415/50061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51415 ÷ 216
    51415 ÷ 65536     		x = 0.784530639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50061 ÷ 216
    50061 ÷ 65536     		y = 0.763870239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784530639648438 × 2 - 1) × π
    0.569061279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78775873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763870239257812 × 2 - 1) × π
    -0.527740478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65794561025926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78775873} λ = 1.78775873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65794561025926))-π/2
    2×atan(0.190530001188885)-π/2
    2×0.188273431540143-π/2
    0.376546863080286-1.57079632675     		φ = -1.19424946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78775873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.431030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19424946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.425454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51415 KachelY 50061 1.78775873 -1.19424946 102.431030 -68.425454
    Oben rechts KachelX + 1 51416 KachelY 50061 1.78785461 -1.19424946 102.436524 -68.425454
    Unten links KachelX 51415 KachelY + 1 50062 1.78775873 -1.19428472 102.431030 -68.427474
    Unten rechts KachelX + 1 51416 KachelY + 1 50062 1.78785461 -1.19428472 102.436524 -68.427474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19424946--1.19428472) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dl = 224.641459999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19424946--1.19428472) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dr = 224.641459999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78775873-1.78785461) × cos(-1.19424946) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.367711461646966 × 6371000     		do = 224.617090559865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78775873-1.78785461) × cos(-1.19428472) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.367678671736316 × 6371000     		du = 224.597060794415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19424946)-sin(-1.19428472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367711461646966-0.367678671736316)×R²
    abs(1.78785461-1.78775873)×3.27899106502549e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.27899106502549e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.27899106502549e-05×40589641000000     		ar = 50456.0614113399m²