Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51414 / 50055
↖ ↑ ↗
← S 68.413331°
E102.425537°		 ← 224.71 m → S 68.413331°
E102.431030°		 →
↑
224.71 m
↓
↑
224.71 m
↓
S 68.415352°
E102.425537°		 ← 224.69 m →
50 492 m²		 S 68.415352°
E102.431030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784523010253906 y=0.763786315917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784523010253906 × 216)
    floor (0.784523010253906 × 65536)
    floor (51414.5)     		tx = 51414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763786315917969 × 216)
    floor (0.763786315917969 × 65536)
    floor (50055.5)     		ty = 50055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51414 / 50055 ti = "16/51414/50055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51414/50055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51414 ÷ 216
    51414 ÷ 65536     		x = 0.784515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50055 ÷ 216
    50055 ÷ 65536     		y = 0.763778686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784515380859375 × 2 - 1) × π
    0.56903076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78766286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763778686523438 × 2 - 1) × π
    -0.527557373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65737036746382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78766286} λ = 1.78766286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65737036746382))-π/2
    2×atan(0.190639633729025)-π/2
    2×0.188379221516105-π/2
    0.37675844303221-1.57079632675     		φ = -1.19403788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78766286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.425537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19403788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.413331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51414 KachelY 50055 1.78766286 -1.19403788 102.425537 -68.413331
    Oben rechts KachelX + 1 51415 KachelY 50055 1.78775873 -1.19403788 102.431030 -68.413331
    Unten links KachelX 51414 KachelY + 1 50056 1.78766286 -1.19407315 102.425537 -68.415352
    Unten rechts KachelX + 1 51415 KachelY + 1 50056 1.78775873 -1.19407315 102.431030 -68.415352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19403788--1.19407315) × R
    3.52699999999206e-05 × 6371000     		dl = 224.705169999494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19403788--1.19407315) × R
    3.52699999999206e-05 × 6371000     		dr = 224.705169999494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78766286-1.78775873) × cos(-1.19403788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367908210106245 × 6371000     		do = 224.71383521548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78766286-1.78775873) × cos(-1.19407315) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367875413640697 × 6371000     		du = 224.693803535424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19403788)-sin(-1.19407315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367908210106245-0.367875413640697)×R²
    abs(1.78775873-1.78766286)×3.27964655476576e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27964655476576e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27964655476576e-05×40589641000000     		ar = 50492.1099375387m²