Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51413 / 49909
↖ ↑ ↗
← S 68.116341°
E102.420044°		 ← 227.65 m → S 68.116341°
E102.425537°		 →
↑
227.70 m
↓
↑
227.70 m
↓
S 68.118388°
E102.420044°		 ← 227.63 m →
51 835 m²		 S 68.118388°
E102.425537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784507751464844 y=0.761558532714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784507751464844 × 216)
    floor (0.784507751464844 × 65536)
    floor (51413.5)     		tx = 51413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761558532714844 × 216)
    floor (0.761558532714844 × 65536)
    floor (49909.5)     		ty = 49909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51413 / 49909 ti = "16/51413/49909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51413/49909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51413 ÷ 216
    51413 ÷ 65536     		x = 0.784500122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49909 ÷ 216
    49909 ÷ 65536     		y = 0.761550903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784500122070312 × 2 - 1) × π
    0.569000244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78756699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761550903320312 × 2 - 1) × π
    -0.523101806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64337279277477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78756699} λ = 1.78756699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64337279277477))-π/2
    2×atan(0.193326889898813)-π/2
    2×0.190970951472424-π/2
    0.381941902944848-1.57079632675     		φ = -1.18885442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78756699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.420044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18885442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.116341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51413 KachelY 49909 1.78756699 -1.18885442 102.420044 -68.116341
    Oben rechts KachelX + 1 51414 KachelY 49909 1.78766286 -1.18885442 102.425537 -68.116341
    Unten links KachelX 51413 KachelY + 1 49910 1.78756699 -1.18889016 102.420044 -68.118388
    Unten rechts KachelX + 1 51414 KachelY + 1 49910 1.78766286 -1.18889016 102.425537 -68.118388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18885442--1.18889016) × R
    3.57399999999508e-05 × 6371000     		dl = 227.699539999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18885442--1.18889016) × R
    3.57399999999508e-05 × 6371000     		dr = 227.699539999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78756699-1.78766286) × cos(-1.18885442) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.372723149074868 × 6371000     		do = 227.654741050811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78756699-1.78766286) × cos(-1.18889016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.372689984168587 × 6371000     		du = 227.634484331661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18885442)-sin(-1.18889016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372723149074868-0.372689984168587)×R²
    abs(1.78766286-1.78756699)×3.31649062813577e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.31649062813577e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31649062813577e-05×40589641000000     		ar = 51834.57359903m²