Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51412 / 49906
↖ ↑ ↗
← S 68.110198°
E102.414551°		 ← 227.74 m → S 68.110198°
E102.420044°		 →
↑
227.70 m
↓
↑
227.70 m
↓
S 68.112246°
E102.414551°		 ← 227.72 m →
51 854 m²		 S 68.112246°
E102.420044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784492492675781 y=0.761512756347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784492492675781 × 216)
    floor (0.784492492675781 × 65536)
    floor (51412.5)     		tx = 51412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761512756347656 × 216)
    floor (0.761512756347656 × 65536)
    floor (49906.5)     		ty = 49906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51412 / 49906 ti = "16/51412/49906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51412/49906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51412 ÷ 216
    51412 ÷ 65536     		x = 0.78448486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49906 ÷ 216
    49906 ÷ 65536     		y = 0.761505126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78448486328125 × 2 - 1) × π
    0.5689697265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78747111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761505126953125 × 2 - 1) × π
    -0.52301025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64308517137704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78747111} λ = 1.78747111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64308517137704))-π/2
    2×atan(0.193382502846456)-π/2
    2×0.191024560202021-π/2
    0.382049120404042-1.57079632675     		φ = -1.18874721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78747111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.414551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18874721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.110198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51412 KachelY 49906 1.78747111 -1.18874721 102.414551 -68.110198
    Oben rechts KachelX + 1 51413 KachelY 49906 1.78756699 -1.18874721 102.420044 -68.110198
    Unten links KachelX 51412 KachelY + 1 49907 1.78747111 -1.18878295 102.414551 -68.112246
    Unten rechts KachelX + 1 51413 KachelY + 1 49907 1.78756699 -1.18878295 102.420044 -68.112246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18874721--1.18878295) × R
    3.57399999999508e-05 × 6371000     		dl = 227.699539999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18874721--1.18878295) × R
    3.57399999999508e-05 × 6371000     		dr = 227.699539999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78747111-1.78756699) × cos(-1.18874721) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.372822631657934 × 6371000     		do = 227.739256325595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78747111-1.78756699) × cos(-1.18878295) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.372789468179938 × 6371000     		du = 227.718998365979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18874721)-sin(-1.18878295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372822631657934-0.372789468179938)×R²
    abs(1.78756699-1.78747111)×3.31634779964229e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.31634779964229e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.31634779964229e-05×40589641000000     		ar = 51853.8175467495m²