Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51397 / 49719
↖ ↑ ↗
← S 67.724026°
E102.332154°		 ← 231.53 m → S 67.724026°
E102.337646°		 →
↑
231.52 m
↓
↑
231.52 m
↓
S 67.726108°
E102.332154°		 ← 231.51 m →
53 602 m²		 S 67.726108°
E102.337646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784263610839844 y=0.758659362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784263610839844 × 216)
    floor (0.784263610839844 × 65536)
    floor (51397.5)     		tx = 51397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758659362792969 × 216)
    floor (0.758659362792969 × 65536)
    floor (49719.5)     		ty = 49719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51397 / 49719 ti = "16/51397/49719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51397/49719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51397 ÷ 216
    51397 ÷ 65536     		x = 0.784255981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49719 ÷ 216
    49719 ÷ 65536     		y = 0.758651733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784255981445312 × 2 - 1) × π
    0.568511962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78603301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758651733398438 × 2 - 1) × π
    -0.517303466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62515677091914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78603301} λ = 1.78603301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62515677091914))-π/2
    2×atan(0.196880807599517)-π/2
    2×0.19439454524896-π/2
    0.388789090497921-1.57079632675     		φ = -1.18200724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78603301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.332154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18200724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.724026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51397 KachelY 49719 1.78603301 -1.18200724 102.332154 -67.724026
    Oben rechts KachelX + 1 51398 KachelY 49719 1.78612888 -1.18200724 102.337646 -67.724026
    Unten links KachelX 51397 KachelY + 1 49720 1.78603301 -1.18204358 102.332154 -67.726108
    Unten rechts KachelX + 1 51398 KachelY + 1 49720 1.78612888 -1.18204358 102.337646 -67.726108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18200724--1.18204358) × R
    3.63400000000791e-05 × 6371000     		dl = 231.522140000504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18200724--1.18204358) × R
    3.63400000000791e-05 × 6371000     		dr = 231.522140000504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78603301-1.78612888) × cos(-1.18200724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379068152065614 × 6371000     		do = 231.530191278172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78603301-1.78612888) × cos(-1.18204358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379034523914701 × 6371000     		du = 231.509651614867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18200724)-sin(-1.18204358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379068152065614-0.379034523914701)×R²
    abs(1.78612888-1.78603301)×3.36281509131786e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36281509131786e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36281509131786e-05×40589641000000     		ar = 53601.9876716306m²