Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51396 / 48213
↖ ↑ ↗
← S 64.370814°
E102.326660°		 ← 264.22 m → S 64.370814°
E102.332154°		 →
↑
264.21 m
↓
↑
264.21 m
↓
S 64.373190°
E102.326660°		 ← 264.20 m →
69 806 m²		 S 64.373190°
E102.332154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784248352050781 y=0.735679626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784248352050781 × 216)
    floor (0.784248352050781 × 65536)
    floor (51396.5)     		tx = 51396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735679626464844 × 216)
    floor (0.735679626464844 × 65536)
    floor (48213.5)     		ty = 48213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51396 / 48213 ti = "16/51396/48213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51396/48213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51396 ÷ 216
    51396 ÷ 65536     		x = 0.78424072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48213 ÷ 216
    48213 ÷ 65536     		y = 0.735671997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78424072265625 × 2 - 1) × π
    0.5684814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78593713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735671997070312 × 2 - 1) × π
    -0.471343994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48077082926353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78593713} λ = 1.78593713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48077082926353))-π/2
    2×atan(0.227462286203375)-π/2
    2×0.223656842325592-π/2
    0.447313684651184-1.57079632675     		φ = -1.12348264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78593713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.326660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12348264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.370814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51396 KachelY 48213 1.78593713 -1.12348264 102.326660 -64.370814
    Oben rechts KachelX + 1 51397 KachelY 48213 1.78603301 -1.12348264 102.332154 -64.370814
    Unten links KachelX 51396 KachelY + 1 48214 1.78593713 -1.12352411 102.326660 -64.373190
    Unten rechts KachelX + 1 51397 KachelY + 1 48214 1.78603301 -1.12352411 102.332154 -64.373190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12348264--1.12352411) × R
    4.14699999999879e-05 × 6371000     		dl = 264.205369999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12348264--1.12352411) × R
    4.14699999999879e-05 × 6371000     		dr = 264.205369999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78593713-1.78603301) × cos(-1.12348264) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.432545084663603 × 6371000     		do = 264.220805133314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78593713-1.78603301) × cos(-1.12352411) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.43250769442936 × 6371000     		du = 264.197965253389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12348264)-sin(-1.12352411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432545084663603-0.43250769442936)×R²
    abs(1.78603301-1.78593713)×3.73902342424293e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.73902342424293e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.73902342424293e-05×40589641000000     		ar = 69805.5383822829m²