Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51394 / 48158
↖ ↑ ↗
← S 64.239821°
E102.315674°		 ← 265.48 m → S 64.239821°
E102.321167°		 →
↑
265.42 m
↓
↑
265.42 m
↓
S 64.242208°
E102.315674°		 ← 265.46 m →
70 459 m²		 S 64.242208°
E102.321167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784217834472656 y=0.734840393066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784217834472656 × 216)
    floor (0.784217834472656 × 65536)
    floor (51394.5)     		tx = 51394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734840393066406 × 216)
    floor (0.734840393066406 × 65536)
    floor (48158.5)     		ty = 48158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51394 / 48158 ti = "16/51394/48158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51394/48158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51394 ÷ 216
    51394 ÷ 65536     		x = 0.784210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48158 ÷ 216
    48158 ÷ 65536     		y = 0.734832763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784210205078125 × 2 - 1) × π
    0.56842041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78574538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734832763671875 × 2 - 1) × π
    -0.46966552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47549777030533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78574538} λ = 1.78574538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47549777030533))-π/2
    2×atan(0.228664876126563)-π/2
    2×0.224799974412394-π/2
    0.449599948824788-1.57079632675     		φ = -1.12119638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78574538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.315674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12119638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.239821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51394 KachelY 48158 1.78574538 -1.12119638 102.315674 -64.239821
    Oben rechts KachelX + 1 51395 KachelY 48158 1.78584126 -1.12119638 102.321167 -64.239821
    Unten links KachelX 51394 KachelY + 1 48159 1.78574538 -1.12123804 102.315674 -64.242208
    Unten rechts KachelX + 1 51395 KachelY + 1 48159 1.78584126 -1.12123804 102.321167 -64.242208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12119638--1.12123804) × R
    4.16599999999434e-05 × 6371000     		dl = 265.415859999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12119638--1.12123804) × R
    4.16599999999434e-05 × 6371000     		dr = 265.415859999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78574538-1.78584126) × cos(-1.12119638) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.434605272565017 × 6371000     		do = 265.47927396197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78574538-1.78584126) × cos(-1.12123804) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.434567752315375 × 6371000     		du = 265.456354661946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12119638)-sin(-1.12123804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434605272565017-0.434567752315375)×R²
    abs(1.78584126-1.78574538)×3.75202496417093e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.75202496417093e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.75202496417093e-05×40589641000000     		ar = 70459.3682478291m²