Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51391 / 48162
↖ ↑ ↗
← S 64.249368°
E102.299194°		 ← 265.39 m → S 64.249368°
E102.304688°		 →
↑
265.35 m
↓
↑
265.35 m
↓
S 64.251755°
E102.299194°		 ← 265.36 m →
70 418 m²		 S 64.251755°
E102.304688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784172058105469 y=0.734901428222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784172058105469 × 216)
    floor (0.784172058105469 × 65536)
    floor (51391.5)     		tx = 51391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734901428222656 × 216)
    floor (0.734901428222656 × 65536)
    floor (48162.5)     		ty = 48162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51391 / 48162 ti = "16/51391/48162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51391/48162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51391 ÷ 216
    51391 ÷ 65536     		x = 0.784164428710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48162 ÷ 216
    48162 ÷ 65536     		y = 0.734893798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784164428710938 × 2 - 1) × π
    0.568328857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78545776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734893798828125 × 2 - 1) × π
    -0.46978759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47588126550229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78545776} λ = 1.78545776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47588126550229))-π/2
    2×atan(0.228577201057413)-π/2
    2×0.224716654284669-π/2
    0.449433308569338-1.57079632675     		φ = -1.12136302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78545776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.299194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12136302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.249368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51391 KachelY 48162 1.78545776 -1.12136302 102.299194 -64.249368
    Oben rechts KachelX + 1 51392 KachelY 48162 1.78555364 -1.12136302 102.304688 -64.249368
    Unten links KachelX 51391 KachelY + 1 48163 1.78545776 -1.12140467 102.299194 -64.251755
    Unten rechts KachelX + 1 51392 KachelY + 1 48163 1.78555364 -1.12140467 102.304688 -64.251755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12136302--1.12140467) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dl = 265.352150000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12136302--1.12140467) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dr = 265.352150000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78545776-1.78555364) × cos(-1.12136302) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.434455187041411 × 6371000     		do = 265.387593998363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78545776-1.78555364) × cos(-1.12140467) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.43441767278241 × 6371000     		du = 265.364678357731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12136302)-sin(-1.12140467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434455187041411-0.43441767278241)×R²
    abs(1.78555364-1.78545776)×3.75142590015032e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.75142590015032e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.75142590015032e-05×40589641000000     		ar = 70418.1283038388m²