Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51391 / 48159
↖ ↑ ↗
← S 64.242208°
E102.299194°		 ← 265.46 m → S 64.242208°
E102.304688°		 →
↑
265.48 m
↓
↑
265.48 m
↓
S 64.244595°
E102.299194°		 ← 265.43 m →
70 470 m²		 S 64.244595°
E102.304688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784172058105469 y=0.734855651855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784172058105469 × 216)
    floor (0.784172058105469 × 65536)
    floor (51391.5)     		tx = 51391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734855651855469 × 216)
    floor (0.734855651855469 × 65536)
    floor (48159.5)     		ty = 48159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51391 / 48159 ti = "16/51391/48159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51391/48159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51391 ÷ 216
    51391 ÷ 65536     		x = 0.784164428710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48159 ÷ 216
    48159 ÷ 65536     		y = 0.734848022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784164428710938 × 2 - 1) × π
    0.568328857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78545776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734848022460938 × 2 - 1) × π
    -0.469696044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47559364410457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78545776} λ = 1.78545776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47559364410457))-π/2
    2×atan(0.228642954207021)-π/2
    2×0.224779141682411-π/2
    0.449558283364822-1.57079632675     		φ = -1.12123804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78545776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.299194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12123804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.242208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51391 KachelY 48159 1.78545776 -1.12123804 102.299194 -64.242208
    Oben rechts KachelX + 1 51392 KachelY 48159 1.78555364 -1.12123804 102.304688 -64.242208
    Unten links KachelX 51391 KachelY + 1 48160 1.78545776 -1.12127971 102.299194 -64.244595
    Unten rechts KachelX + 1 51392 KachelY + 1 48160 1.78555364 -1.12127971 102.304688 -64.244595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12123804--1.12127971) × R
    4.16700000001047e-05 × 6371000     		dl = 265.479570000667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12123804--1.12127971) × R
    4.16700000001047e-05 × 6371000     		dr = 265.479570000667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78545776-1.78555364) × cos(-1.12123804) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.434567752315375 × 6371000     		do = 265.456354662561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78545776-1.78555364) × cos(-1.12127971) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.434530222304944 × 6371000     		du = 265.433429400145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12123804)-sin(-1.12127971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434567752315375-0.434530222304944)×R²
    abs(1.78555364-1.78545776)×3.75300104307752e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.75300104307752e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.75300104307752e-05×40589641000000     		ar = 70470.1958058072m²