Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51388 / 49180
↖ ↑ ↗
← S 66.574483°
E102.282715°		 ← 242.85 m → S 66.574483°
E102.288208°		 →
↑
242.86 m
↓
↑
242.86 m
↓
S 66.576667°
E102.282715°		 ← 242.83 m →
58 976 m²		 S 66.576667°
E102.288208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784126281738281 y=0.750434875488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784126281738281 × 216)
    floor (0.784126281738281 × 65536)
    floor (51388.5)     		tx = 51388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750434875488281 × 216)
    floor (0.750434875488281 × 65536)
    floor (49180.5)     		ty = 49180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51388 / 49180 ti = "16/51388/49180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51388/49180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51388 ÷ 216
    51388 ÷ 65536     		x = 0.78411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49180 ÷ 216
    49180 ÷ 65536     		y = 0.75042724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78411865234375 × 2 - 1) × π
    0.5682373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78517014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75042724609375 × 2 - 1) × π
    -0.5008544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57348079312872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78517014} λ = 1.78517014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57348079312872))-π/2
    2×atan(0.207322278984241)-π/2
    2×0.20442619665817-π/2
    0.408852393316339-1.57079632675     		φ = -1.16194393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78517014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.282715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16194393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.574483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51388 KachelY 49180 1.78517014 -1.16194393 102.282715 -66.574483
    Oben rechts KachelX + 1 51389 KachelY 49180 1.78526602 -1.16194393 102.288208 -66.574483
    Unten links KachelX 51388 KachelY + 1 49181 1.78517014 -1.16198205 102.282715 -66.576667
    Unten rechts KachelX + 1 51389 KachelY + 1 49181 1.78526602 -1.16198205 102.288208 -66.576667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16194393--1.16198205) × R
    3.81199999999193e-05 × 6371000     		dl = 242.862519999486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16194393--1.16198205) × R
    3.81199999999193e-05 × 6371000     		dr = 242.862519999486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78517014-1.78526602) × cos(-1.16194393) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.39755657493687 × 6371000     		do = 242.848022183759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78517014-1.78526602) × cos(-1.16198205) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.39752159658747 × 6371000     		du = 242.82665560726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16194393)-sin(-1.16198205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39755657493687-0.39752159658747)×R²
    abs(1.78526602-1.78517014)×3.49783493999722e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.49783493999722e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.49783493999722e-05×40589641000000     		ar = 58976.0880811172m²