Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51387 / 49721
↖ ↑ ↗
← S 67.728190°
E102.277222°		 ← 231.49 m → S 67.728190°
E102.282715°		 →
↑
231.46 m
↓
↑
231.46 m
↓
S 67.730272°
E102.277222°		 ← 231.47 m →
53 578 m²		 S 67.730272°
E102.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784111022949219 y=0.758689880371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784111022949219 × 216)
    floor (0.784111022949219 × 65536)
    floor (51387.5)     		tx = 51387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758689880371094 × 216)
    floor (0.758689880371094 × 65536)
    floor (49721.5)     		ty = 49721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51387 / 49721 ti = "16/51387/49721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51387/49721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51387 ÷ 216
    51387 ÷ 65536     		x = 0.784103393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49721 ÷ 216
    49721 ÷ 65536     		y = 0.758682250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784103393554688 × 2 - 1) × π
    0.568206787109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78507427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758682250976562 × 2 - 1) × π
    -0.517364501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62534851851762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78507427} λ = 1.78507427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62534851851762))-π/2
    2×atan(0.196843059796614)-π/2
    2×0.194358205768838-π/2
    0.388716411537676-1.57079632675     		φ = -1.18207992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78507427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.277222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18207992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.728190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51387 KachelY 49721 1.78507427 -1.18207992 102.277222 -67.728190
    Oben rechts KachelX + 1 51388 KachelY 49721 1.78517014 -1.18207992 102.282715 -67.728190
    Unten links KachelX 51387 KachelY + 1 49722 1.78507427 -1.18211625 102.277222 -67.730272
    Unten rechts KachelX + 1 51388 KachelY + 1 49722 1.78517014 -1.18211625 102.282715 -67.730272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18207992--1.18211625) × R
    3.63299999999178e-05 × 6371000     		dl = 231.458429999476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18207992--1.18211625) × R
    3.63299999999178e-05 × 6371000     		dr = 231.458429999476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78507427-1.78517014) × cos(-1.18207992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379000895263237 × 6371000     		do = 231.489111645831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78507427-1.78517014) × cos(-1.18211625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378967275365366 × 6371000     		du = 231.468577023383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18207992)-sin(-1.18211625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379000895263237-0.378967275365366)×R²
    abs(1.78517014-1.78507427)×3.36198978705404e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36198978705404e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36198978705404e-05×40589641000000     		ar = 53577.7298938537m²