Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51385 / 49725
↖ ↑ ↗
← S 67.736516°
E102.266235°		 ← 231.41 m → S 67.736516°
E102.271728°		 →
↑
231.46 m
↓
↑
231.46 m
↓
S 67.738598°
E102.266235°		 ← 231.39 m →
53 559 m²		 S 67.738598°
E102.271728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784080505371094 y=0.758750915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784080505371094 × 216)
    floor (0.784080505371094 × 65536)
    floor (51385.5)     		tx = 51385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758750915527344 × 216)
    floor (0.758750915527344 × 65536)
    floor (49725.5)     		ty = 49725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51385 / 49725 ti = "16/51385/49725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51385/49725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51385 ÷ 216
    51385 ÷ 65536     		x = 0.784072875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49725 ÷ 216
    49725 ÷ 65536     		y = 0.758743286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784072875976562 × 2 - 1) × π
    0.568145751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78488252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758743286132812 × 2 - 1) × π
    -0.517486572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62573201371458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78488252} λ = 1.78488252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62573201371458))-π/2
    2×atan(0.19676758590149)-π/2
    2×0.194285546150432-π/2
    0.388571092300864-1.57079632675     		φ = -1.18222523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78488252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.266235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18222523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.736516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51385 KachelY 49725 1.78488252 -1.18222523 102.266235 -67.736516
    Oben rechts KachelX + 1 51386 KachelY 49725 1.78497839 -1.18222523 102.271728 -67.736516
    Unten links KachelX 51385 KachelY + 1 49726 1.78488252 -1.18226156 102.266235 -67.738598
    Unten rechts KachelX + 1 51386 KachelY + 1 49726 1.78497839 -1.18226156 102.271728 -67.738598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18222523--1.18226156) × R
    3.63299999999178e-05 × 6371000     		dl = 231.458429999476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18222523--1.18226156) × R
    3.63299999999178e-05 × 6371000     		dr = 231.458429999476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78488252-1.78497839) × cos(-1.18222523) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378866421925323 × 6371000     		do = 231.406976975642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78488252-1.78497839) × cos(-1.18226156) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378832800027108 × 6371000     		du = 231.386441131408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18222523)-sin(-1.18226156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378866421925323-0.378832800027108)×R²
    abs(1.78497839-1.78488252)×3.36218982150971e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36218982150971e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36218982150971e-05×40589641000000     		ar = 53558.7189906221m²