Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51384 / 49731
↖ ↑ ↗
← S 67.749000°
E102.260742°		 ← 231.28 m → S 67.749000°
E102.266235°		 →
↑
231.27 m
↓
↑
231.27 m
↓
S 67.751080°
E102.260742°		 ← 231.26 m →
53 486 m²		 S 67.751080°
E102.266235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784065246582031 y=0.758842468261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784065246582031 × 216)
    floor (0.784065246582031 × 65536)
    floor (51384.5)     		tx = 51384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758842468261719 × 216)
    floor (0.758842468261719 × 65536)
    floor (49731.5)     		ty = 49731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51384 / 49731 ti = "16/51384/49731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51384/49731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51384 ÷ 216
    51384 ÷ 65536     		x = 0.7840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49731 ÷ 216
    49731 ÷ 65536     		y = 0.758834838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7840576171875 × 2 - 1) × π
    0.568115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78478665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758834838867188 × 2 - 1) × π
    -0.517669677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62630725651002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78478665} λ = 1.78478665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62630725651002))-π/2
    2×atan(0.1966544293147)-π/2
    2×0.194176605063137-π/2
    0.388353210126274-1.57079632675     		φ = -1.18244312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78478665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.260742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18244312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.749000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51384 KachelY 49731 1.78478665 -1.18244312 102.260742 -67.749000
    Oben rechts KachelX + 1 51385 KachelY 49731 1.78488252 -1.18244312 102.266235 -67.749000
    Unten links KachelX 51384 KachelY + 1 49732 1.78478665 -1.18247942 102.260742 -67.751080
    Unten rechts KachelX + 1 51385 KachelY + 1 49732 1.78488252 -1.18247942 102.266235 -67.751080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18244312--1.18247942) × R
    3.62999999998781e-05 × 6371000     		dl = 231.267299999223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18244312--1.18247942) × R
    3.62999999998781e-05 × 6371000     		dr = 231.267299999223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78478665-1.78488252) × cos(-1.18244312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378664766334827 × 6371000     		do = 231.283808207215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78478665-1.78488252) × cos(-1.18247942) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378631169204887 × 6371000     		du = 231.263287491141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18244312)-sin(-1.18247942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378664766334827-0.378631169204887)×R²
    abs(1.78488252-1.78478665)×3.3597129939722e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3597129939722e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3597129939722e-05×40589641000000     		ar = 53486.0089782278m²