Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51383 / 49723
↖ ↑ ↗
← S 67.732354°
E102.255249°		 ← 231.47 m → S 67.732354°
E102.260742°		 →
↑
231.46 m
↓
↑
231.46 m
↓
S 67.734435°
E102.255249°		 ← 231.45 m →
53 574 m²		 S 67.734435°
E102.260742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784049987792969 y=0.758720397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784049987792969 × 216)
    floor (0.784049987792969 × 65536)
    floor (51383.5)     		tx = 51383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758720397949219 × 216)
    floor (0.758720397949219 × 65536)
    floor (49723.5)     		ty = 49723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51383 / 49723 ti = "16/51383/49723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51383/49723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51383 ÷ 216
    51383 ÷ 65536     		x = 0.784042358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49723 ÷ 216
    49723 ÷ 65536     		y = 0.758712768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784042358398438 × 2 - 1) × π
    0.568084716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78469077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758712768554688 × 2 - 1) × π
    -0.517425537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6255402661161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78469077} λ = 1.78469077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6255402661161))-π/2
    2×atan(0.196805319231067)-π/2
    2×0.194321872736313-π/2
    0.388643745472626-1.57079632675     		φ = -1.18215258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78469077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.255249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18215258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.732354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51383 KachelY 49723 1.78469077 -1.18215258 102.255249 -67.732354
    Oben rechts KachelX + 1 51384 KachelY 49723 1.78478665 -1.18215258 102.260742 -67.732354
    Unten links KachelX 51383 KachelY + 1 49724 1.78469077 -1.18218891 102.255249 -67.734435
    Unten rechts KachelX + 1 51384 KachelY + 1 49724 1.78478665 -1.18218891 102.260742 -67.734435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18215258--1.18218891) × R
    3.63300000001399e-05 × 6371000     		dl = 231.458430000891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18215258--1.18218891) × R
    3.63300000001399e-05 × 6371000     		dr = 231.458430000891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78469077-1.78478665) × cos(-1.18215258) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.378933654967309 × 6371000     		do = 231.472183958438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78469077-1.78478665) × cos(-1.18218891) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.378900034069108 × 6371000     		du = 231.451646583013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18215258)-sin(-1.18218891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378933654967309-0.378900034069108)×R²
    abs(1.78478665-1.78469077)×3.36208982005815e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.36208982005815e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.36208982005815e-05×40589641000000     		ar = 53573.8115196771m²