Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51383 / 49713
↖ ↑ ↗
← S 67.711529°
E102.255249°		 ← 231.68 m → S 67.711529°
E102.260742°		 →
↑
231.65 m
↓
↑
231.65 m
↓
S 67.713612°
E102.255249°		 ← 231.66 m →
53 666 m²		 S 67.713612°
E102.260742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784049987792969 y=0.758567810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784049987792969 × 216)
    floor (0.784049987792969 × 65536)
    floor (51383.5)     		tx = 51383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758567810058594 × 216)
    floor (0.758567810058594 × 65536)
    floor (49713.5)     		ty = 49713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51383 / 49713 ti = "16/51383/49713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51383/49713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51383 ÷ 216
    51383 ÷ 65536     		x = 0.784042358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49713 ÷ 216
    49713 ÷ 65536     		y = 0.758560180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784042358398438 × 2 - 1) × π
    0.568084716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78469077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758560180664062 × 2 - 1) × π
    -0.517120361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6245815281237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78469077} λ = 1.78469077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6245815281237))-π/2
    2×atan(0.196994094446246)-π/2
    2×0.19450360238443-π/2
    0.38900720476886-1.57079632675     		φ = -1.18178912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78469077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.255249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18178912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.711529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51383 KachelY 49713 1.78469077 -1.18178912 102.255249 -67.711529
    Oben rechts KachelX + 1 51384 KachelY 49713 1.78478665 -1.18178912 102.260742 -67.711529
    Unten links KachelX 51383 KachelY + 1 49714 1.78469077 -1.18182548 102.255249 -67.713612
    Unten rechts KachelX + 1 51384 KachelY + 1 49714 1.78478665 -1.18182548 102.260742 -67.713612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18178912--1.18182548) × R
    3.63600000001796e-05 × 6371000     		dl = 231.649560001144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18178912--1.18182548) × R
    3.63600000001796e-05 × 6371000     		dr = 231.649560001144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78469077-1.78478665) × cos(-1.18178912) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.379269984479914 × 6371000     		do = 231.677631338981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78469077-1.78478665) × cos(-1.18182548) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.379236340828347 × 6371000     		du = 231.657080064628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18178912)-sin(-1.18182548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379269984479914-0.379236340828347)×R²
    abs(1.78478665-1.78469077)×3.36436515669947e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.36436515669947e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.36436515669947e-05×40589641000000     		ar = 53665.641020719m²