Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51381 / 49944
↖ ↑ ↗
← S 68.187889°
E102.244263°		 ← 226.95 m → S 68.187889°
E102.249756°		 →
↑
226.94 m
↓
↑
226.94 m
↓
S 68.189930°
E102.244263°		 ← 226.93 m →
51 500 m²		 S 68.189930°
E102.249756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784019470214844 y=0.762092590332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784019470214844 × 216)
    floor (0.784019470214844 × 65536)
    floor (51381.5)     		tx = 51381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762092590332031 × 216)
    floor (0.762092590332031 × 65536)
    floor (49944.5)     		ty = 49944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51381 / 49944 ti = "16/51381/49944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51381/49944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51381 ÷ 216
    51381 ÷ 65536     		x = 0.784011840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49944 ÷ 216
    49944 ÷ 65536     		y = 0.7620849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784011840820312 × 2 - 1) × π
    0.568023681640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78449903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.524169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64672837574817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78449903} λ = 1.78449903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64672837574817))-π/2
    2×atan(0.192679252686664)-π/2
    2×0.190346572511113-π/2
    0.380693145022227-1.57079632675     		φ = -1.19010318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78449903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.244263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19010318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.187889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51381 KachelY 49944 1.78449903 -1.19010318 102.244263 -68.187889
    Oben rechts KachelX + 1 51382 KachelY 49944 1.78459490 -1.19010318 102.249756 -68.187889
    Unten links KachelX 51381 KachelY + 1 49945 1.78449903 -1.19013880 102.244263 -68.189930
    Unten rechts KachelX + 1 51382 KachelY + 1 49945 1.78459490 -1.19013880 102.249756 -68.189930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19010318--1.19013880) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dl = 226.935020000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19010318--1.19013880) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dr = 226.935020000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78449903-1.78459490) × cos(-1.19010318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371564081172296 × 6371000     		do = 226.946796551321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78449903-1.78459490) × cos(-1.19013880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371531011068197 × 6371000     		du = 226.926597736184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19010318)-sin(-1.19013880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371564081172296-0.371531011068197)×R²
    abs(1.78459490-1.78449903)×3.30701040987535e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30701040987535e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30701040987535e-05×40589641000000     		ar = 51499.8839102578m²