Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51380 / 50036
↖ ↑ ↗
← S 68.374900°
E102.238769°		 ← 225.12 m → S 68.374900°
E102.244263°		 →
↑
225.09 m
↓
↑
225.09 m
↓
S 68.376924°
E102.238769°		 ← 225.10 m →
50 669 m²		 S 68.376924°
E102.244263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784004211425781 y=0.763496398925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784004211425781 × 216)
    floor (0.784004211425781 × 65536)
    floor (51380.5)     		tx = 51380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763496398925781 × 216)
    floor (0.763496398925781 × 65536)
    floor (50036.5)     		ty = 50036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51380 / 50036 ti = "16/51380/50036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51380/50036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51380 ÷ 216
    51380 ÷ 65536     		x = 0.78399658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50036 ÷ 216
    50036 ÷ 65536     		y = 0.76348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78399658203125 × 2 - 1) × π
    0.5679931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78440315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76348876953125 × 2 - 1) × π
    -0.5269775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65554876527826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78440315} λ = 1.78440315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65554876527826))-π/2
    2×atan(0.190987219788129)-π/2
    2×0.188714596643137-π/2
    0.377429193286273-1.57079632675     		φ = -1.19336713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78440315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.238769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19336713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.374900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51380 KachelY 50036 1.78440315 -1.19336713 102.238769 -68.374900
    Oben rechts KachelX + 1 51381 KachelY 50036 1.78449903 -1.19336713 102.244263 -68.374900
    Unten links KachelX 51380 KachelY + 1 50037 1.78440315 -1.19340246 102.238769 -68.376924
    Unten rechts KachelX + 1 51381 KachelY + 1 50037 1.78449903 -1.19340246 102.244263 -68.376924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19336713--1.19340246) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dl = 225.087430000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19336713--1.19340246) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dr = 225.087430000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78440315-1.78449903) × cos(-1.19336713) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.368531832309707 × 6371000     		do = 225.11821519387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78440315-1.78449903) × cos(-1.19340246) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.368498988777194 × 6371000     		du = 225.098152673426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19336713)-sin(-1.19340246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368531832309707-0.368498988777194)×R²
    abs(1.78449903-1.78440315)×3.28435325127607e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.28435325127607e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.28435325127607e-05×40589641000000     		ar = 50669.0225989661m²