Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51380 / 49941
↖ ↑ ↗
← S 68.181766°
E102.238769°		 ← 227.03 m → S 68.181766°
E102.244263°		 →
↑
227 m
↓
↑
227 m
↓
S 68.183807°
E102.238769°		 ← 227.01 m →
51 533 m²		 S 68.183807°
E102.244263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784004211425781 y=0.762046813964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784004211425781 × 216)
    floor (0.784004211425781 × 65536)
    floor (51380.5)     		tx = 51380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762046813964844 × 216)
    floor (0.762046813964844 × 65536)
    floor (49941.5)     		ty = 49941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51380 / 49941 ti = "16/51380/49941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51380/49941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51380 ÷ 216
    51380 ÷ 65536     		x = 0.78399658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49941 ÷ 216
    49941 ÷ 65536     		y = 0.762039184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78399658203125 × 2 - 1) × π
    0.5679931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78440315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762039184570312 × 2 - 1) × π
    -0.524078369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64644075435045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78440315} λ = 1.78440315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64644075435045))-π/2
    2×atan(0.192734679333196)-π/2
    2×0.190400014535949-π/2
    0.380800029071898-1.57079632675     		φ = -1.18999630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78440315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.238769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18999630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.181766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51380 KachelY 49941 1.78440315 -1.18999630 102.238769 -68.181766
    Oben rechts KachelX + 1 51381 KachelY 49941 1.78449903 -1.18999630 102.244263 -68.181766
    Unten links KachelX 51380 KachelY + 1 49942 1.78440315 -1.19003193 102.238769 -68.183807
    Unten rechts KachelX + 1 51381 KachelY + 1 49942 1.78449903 -1.19003193 102.244263 -68.183807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18999630--1.19003193) × R
    3.56299999999532e-05 × 6371000     		dl = 226.998729999702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18999630--1.19003193) × R
    3.56299999999532e-05 × 6371000     		dr = 226.998729999702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78440315-1.78449903) × cos(-1.18999630) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.371663307223168 × 6371000     		do = 227.031081279344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78440315-1.78449903) × cos(-1.19003193) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.371630229249955 × 6371000     		du = 227.010875550451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18999630)-sin(-1.19003193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371663307223168-0.371630229249955)×R²
    abs(1.78449903-1.78440315)×3.3077973212281e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.3077973212281e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.3077973212281e-05×40589641000000     		ar = 51533.4737890684m²